虚数の単位i=を導入して以来、数学者たちは数学の問題を解決する際に複素数をますます利用するようになりました。しかし、当初、数学者たちは複素数を「現実の数」とは認めておらず、空想の産物や幻想の数字と見なしていました。数学の巨匠ユーラーは、複素数の研究に大きな貢献をしました。複素数の名称と記号iを導入し、有名なユーラーの方程式e^iθ=cosθ+isinθを発見しました。しかし、ユーラーも複素数の現実性を認めていませんでした。彼は次のように述べています。「iやjのような数は不可能です。なぜなら、それらは負の数の平方根を表しているからです。このような数については、何もないか、何かよりも少ないか、何かよりも多いかといったことしか言えません。それらはまったくの虚構です」。この状況は19世紀のガウスの時代まで続き、その後終わりを迎えませんでした。
われわれは実数を数直線上の点で表すことができることを知っていますが、虚数iはどう表すのでしょうか。当時、ウィザー、アルゴン、ガウスらヨーロッパの数学者たちは、-1を乗じると数がその逆数になることに気づきました。数直線上の原点Oを中心に180度回転することを表しています。さらに-1を乗じると、元の位置に戻ります。現在、i^2=-1であるため、iを2回乗じると原点を中心に180度回転し、1回乗じると（逆時計回りに）90度回転することを意味します。これから、すべての純虚数は原点を通り抜ける実数軸と垂直な直線上にあるはずだと想像できます。これを虚軸と呼び、実軸と虚軸は平面直角座標系を構成し、a+biの複素数はこの平面の点（a,b）を表します。この複素数による平面は複平面と呼ばれています。
この方法により、複素数とその加減乗除算に明確な幾何学的意味が与えられました。それ以来、複素数には実際のモデルがあり、人々はそれを現実のものと見なすようになりました。もともと空想の産物である複素数は、今では現実のものとなっています。ガウスらのこのモデルは、複素数に現実感を与え、人々の疑念を解消するだけでなく、複素数を平面幾何学やベクトル計算と関連付け、多くの平面上的数学や物理学の問題に複素数のツールを適用することを可能にしました。19世紀には、この基盤に基づいて発展した学科である複変関数論が導入されました。複変関数は、流体力学や弾性力学にも重要な応用があります。例えば、翼の設計には複変関数の共形写像が使用されます。さらに驚くべきことに、複変関数は素数分布の研究にも利用され、現代数学の重要な分野である解析数論に発展しています。当代の数学では、純数学でも応用数学でも、複素数が欠かせません。過去の人々は、この「空想の産物」が今日までこのように強力であるとは想像もできなかったでしょう。