ご存知の通り、a + b iのような数は複素数と呼ばれています。ここでaとbは実数であり、iは私たちがよく知っている実数とは大きく異なり、現実世界ではこのような数に遭遇することはめったにありません。なぜ私たちはこのような数を導入しなければならないのでしょうか？中学校の数学の教科書は、二次方程式ax 2 + bx + c = 0を解くときに、∆ = b 2 - 4ac < 0の場合には共役複素根が2つあると教えてくれました。確かに、複素数の導入によって、∆ < 0の場合にも根が見つかりますが、実数範囲で根がない方が現実的かもしれません。人工的に目に見えない複素根を導入する必要はないようにも思えます。
歴史的には、複素数は16世紀にイタリアの数学者カルダーノによって導入されました。彼が複素数を導入した主な目的は、三次代数方程式を解くことでした。そのため、まず例を挙げてみましょう。三次方程式x 3 - 7x + 6 = 0を考えてみましょう。簡単に検証すると、この方程式には3つの実根があります：x = 1, x = 2, x = -3です。三次方程式には最大3つの異なる根があるので、これら3つの根が方程式のすべての根です。当時、カルダーノは三次方程式x 3 + px + q = 0の根の公式をすでに知っていました。現在では、上記の根の公式をx(^3) - 7x + 6 = 0に適用すると、p = -7, q = 6となり、上記の公式では、このような数を処理しなければ、3つの実根を得ることはできません。カルダーノは、∆ < 0の場合には、三次方程式の根（たとえ実数根であったとしても）を求めるには、負数の平方根の計算を避けることはできず、負数の平方根から生じる新しい数を処理しなければならないことに気づきました。そこで、カルダーノは新しい一類の数を数学に導入しました。これが私たちが今日複素数と呼ぶものです。当時の人々は、これらの数を実数aとbで統一的に書いていました。後にユーラーがiを代わりに提案したので、今日の複素数の表記はa + b iとなっています。複素数が導入されて以来、それは「去ることなく残って」おり、その用途はますます拡大されています。複素数は三次方程式や四次方程式の解決にだけでなく、三角関数の計算にも使用されています。有名なデ・モイヴルの公式がその一例です。ここでn = 2とn = 3を取ると、三角関数の倍角公式と三倍角公式が得られ、n倍角公式も導き出せます。多くの実数領域の問題は、複素数領域で簡単または巧妙に解決できます。フランスの数学者アダマはこの点を適切に評価しています：実数領域の2つの真理の間の最短の道は複素数領域を経由してです。