우리는 학교에서 방정식을 풀었는데, 그중에서도 가장 많이 풀었던 것은 소수 변수를 포함하는 방정식, 예를 들면 3x -1 = 0, 2x - 2x - 8 = 0과 같은 방정식이었습니다. 이러한 방정식의 주요 특징 중 하나는 변수를 포함하는 모든 항이 변수의 정수 차수만 포함한다는 것입니다. 또한 이러한 방정식은 항의 수가 제한적이며, 변수의 계수는 모두 정수로 표현된다는 특성을 가지고 있습니다.
이제 우리는 다음과 같은 질문에 답을 해야 합니다: 모든 실수는 정수 계수 알고리즘 방정식의 루트인가? 편리를 위해 우리는 정수 계수 알고리즘 방정식을 단순히 알고리즘 방정식이라고 부릅니다.
먼저, 모든 합리수 q = m / n는 알고리즘 방정식 nx m = 0의 루트입니다. 여기서 m, n은 정수이며 (n ≠ 0)입니다.
두 번째로, 일차 이차 방정식을 공부한 사람들은 알고리즘 방정식의 루트가 항상 합리수일 수는 없다는 것을 알고 있습니다. 예를 들면 x 2 - 2 = 0의 두 루트는 비합리수입니다.
따라서 정수 계수 알고리즘 방정식의 루트는 합리수와 비합리수를 모두 포함할 수 있으며, 적어도 표면적으로는 모든 실수를 표현할 수 있는 잠재력을 가지고 있습니다.
하지만 잠재력이 있다고 해서 실제로 가능한 것은 아닙니다. 프랑스 수학자 루이르(Liouville)는 이 질문에 대해 부정적인 답을 제시하고 증명했습니다. 그는 특정 실수가 정수 계수 알고리즘 방정식의 루트가 아니라는 것을 증명했고, 이러한 실수의 구체적인 예도 제시했습니다.
이제 우리는 알고 있습니다: 자연로그의 기준인 e, π 등 많은 중요한 실수는 정수 계수 알고리즘 방정식의 루트가 아닙니다. 수학자들은 정수 계수 알고리즘 방정식의 루트로 표현할 수 있는 수를 알고리즘 수라고 부르고, 이를 표현할 수 없는 수를 트랜스ند(transcendental number)라고 부릅니다.
실수는 알고리즘 수와 트랜스드 숫자를 모두 포함합니다. 정수와 π는 알고리즘 수의 예입니다. 우리의 질문을 이 새로운 용어로 바꾸면: 모든 실수는 알고리즘 수인가? 위에서 언급한 것처럼 답은 부정적입니다.
그러나, 특정 수가 트랜스드 수인지 여부를 증명하는 것은 종종 쉬운 일이 아닙니다. 예를 들면, 두 가장 중요한 상수인 e와 π가 트랜스드 수인지 여부를 증명하는 것은 수학자들에게 상당한 노력이 필요했습니다. 수학자 에르미트(Helmholtz)는 1873년에 e의 트랜스드성을 증명했습니다. π가 트랜스드 수인지 여부를 판단하는 것은 훨씬 더 어려운 일이었고, 1882년에 독일 수학자 린데만(Lindemann)이 π도 트랜스드 수라고 증명했습니다. 그리고 e + π 및 e - π와 같은 간단한 조합이 트랜스드 수인지 여부는 오늘날까지도 미스틱입니다.
다음으로 우리는 또 다른 질문을 할 수 있습니다: 알고리즘 수가 트랜스드 수보다 더 많습니까? 트랜스드 수를 구성하고 증명하는 것이 매우 어렵기 때문에, 많은 독자들은 트랜스드 수가 매우 적다고 생각할 수 있습니다.
사실은 정반대입니다. 1874년, 독일 수학자 칸토르(Kantor)는 트랜스드 수가 정수 알고리즘 방정식보다 훨씬 많다고 증명했습니다(여기서는 무한집합의 요소 수를 비교하고 있습니다). 실제로 그는 실수의 거의 전부가 트랜스드 수라고 증명했습니다 - 다른 말로 하자면, 만약 우리가 실수 중에서 무작위로 하나를 선택한다면, 그것이 알고리즘 수가 되는 확률은 0입니다!
트랜스드 수의 존재는 단지 추상적인 분류의 의의뿐만 아니라, 일부 구체적인 수학 문제를 해결하는 데에도 도움이 됩니다. 예를 들면, 기하학에서 직선 도법으로 그릴 수 있는 세그먼트의 길이는 오직 알고리즘 수일 수 있다고 입증되었습니다(여기서는 단위 길이가 주어집니다). 따라서 π가 트랜스드 수라는 것은 처음에 보이는 추상적인 분류의 의의뿐만 아니라, 직접적으로 증명되었습니다. 수학자들을 2000년 이상 괴롭혔던 '세 가지 원교점 문제' 중 하나인 '원을 사각형으로 바꾸는 것'은 불가능한 일입니다.