모든 1차원 대수 방정식에 해결 공식이 있는 것일까? 예를 들면, 2x - 6 = 0, 𝑥2 - 3𝑥 + 2 = 0, 𝑥3 - 5𝑥 - 12 = 0, 등의 방정식은 모두 1차원 대수 방정식으로 분류됩니다. 최고 차수에 따라 이들은 각각 1차원 1차방정식, 1차원 2차방정식, 1차원 3차방정식 등으로 분류됩니다. 1차원 1차방정식의 경우 해결 방법은 매우 간단합니다. 그러나, 많은 고대 문명은 이미 1차원 2차방정식의 해결 방법을 찾아냈습니다. 사실, 일반적인 1차원 2차방정식 a𝑥2 + b𝑥 + c = 0 (a ≠ 0)에 대한 해결 공식은 있습니다: 이 공식에서, 방정식의 계수들의 합, 차, 및 제곱근 연산을 통해 방정식의 해를 표현하며, 이러한 공식으로 주어진 해는 방정식의 제곱근 해라고 합니다.
12세기 유럽 학자들은 2차원 방정식의 해결 방법을 습득했습니다. 이후, 그들은 1차원 3차방정식의 제곱근 해를 찾는 데 관심을 가지기 시작했습니다. 몇 세기에 걸쳐 많은 사람들의 노력은 실패로 돌아갔습니다. 1494년, 한 수학자는 심지어 3차원 방정식을 해결하는 것이 원통을 사각형으로 바꾸는 것처럼 불가능하다고 비관적으로 예측했습니다. 그러나, 1500년경, 이탈리아 수학자 페로 ξ(^3) + mx = n 같은 미완전한 1차원 3차방정식의 해결 공식을 처음으로 발견했습니다. 그러나, 그는 자신의 결과를 발표하지 않았고, 사망할 때까지 학생인 피오르 등에게 그의 해결 방법을 전달하지 않았습니다. 얼마 지나지 않아, 또 다른 이탈리아 수학자인 탈타리아가 3차원 방정식의 해결 방법을 발견했습니다. 1535년, 피오르와 탈타리아 사이에 공개 경기가 열렸습니다. 두 사람은 각각 30개의 3차원 방정식 문제를 제시하고 더 많은 문제를 해결한 사람이 승리한다고 합의했습니다. 처음에 탈타리아는 ξ3 + mx2 = n 같이 1차원 3차방정식의 미완전한 형태만 알고 있었습니다. 그는 경기에서 승리하기 위해 며칠 동안 고심 끝에 여러 종류의 1차원 3차방정식의 해결 방법을 마침내 찾았습니다. 경기의 결과 탈타리아가 만리의 승리를 거머쥐었습니다.
경기가 끝난 직후, 또 다른 수학자인 카르다노(또는 카르데안)는 이 사실을 들었습니다. 그 후, 그는 탈타리아에게 세 차원 방정식의 해결 방법에 대해 여러 번 질문을 했고, 결국 비밀을 지키겠다는 서약 후에 탈타리아는 그의 비밀을 카르다노에게 전달했습니다. 그 후, 카르다노는 여러 종류의 세 차원 방정식의 해결 방법과 증명을 마침내 찾았습니다. 1545년, 카르다노는 자신의 가장 중요한 수학 서적인 '대수 기법'을 출판하여 그의 발견을 세상에 공개했습니다. 동시에, 이 책은 그의 학생인 페라리의 중요한 발견인 일차 4차방정식의 일반적인 해결 방법도 포함하고 있습니다. 카르다노의 신뢰 위반으로 인해 분쟁이 불가피했습니다. 1548년 8월 10일 밀라노에서 열린 공개 토론에서 이 분쟁은 절정에 달했습니다. 이 공개적이고 불공정한 토론에서 탈타리아는 패했습니다. 지금까지도, 3차원 방정식의 해결 방법은 카르다노 공식으로 불립니다.
그러나, 수학은 결코 멈추지 않습니다. 한 문제의 해결은 새로운 문제의 탄생을 의미합니다. '대수 기법' 이후, 사람들은 다음 도전, 즉 5차원 방정식의 루트 공식을 찾는 데 바로 투입되었습니다. 아무도 의심하지 않았습니다. 1차원 5차방정식도 해결할 수 있을 것입니다. 그러나, 한 세기가 지나고, 또 한 세기가 지나도록 아무도 성공하지 못했습니다.
1823년 말, 진정한 돌파구가 나왔습니다. 겨우 21세인 노르웨이 수학자 아벨은 일반적인 1차원 5차방정식의 루트 없는 해결 방법을 증명했습니다. 이것이 바로 두 세기 이상 동안 사람들이 이 세간의 이상을 추구했으나 실패한 이유입니다. 아벨당신은 자신의 연구 결과를 몇 번 복사했습니다. 인쇄비를 절약하기 위해 그는 자신의 주요 아이디어를 단순화하여 6페이지로 제한했습니다. 그의 증명이 지나치게 단순화되어 당시 수학 커뮤니티에서 인정받지 못했습니다. 1829년 4월 6일, 27세가 되기 전에 아벨은 질병과 가난에 시달려 사망했습니다.
아벨이 사망한 직후, 그의 증명은 받아들여지기 시작했지만, 여전히 새로운 문제들이 남아있었습니다. 어떤 방정식이 정수로 해결될 수 있고, 어떤 방정식은 그렇지 않은지, 적당한 판별 방법이 있는지 여부는 아벨이 세상을 떠나기 전에 해결되지 않았고, 그것은 수학 역사상 가장 전설적이고 비극적인 수학자인 갈로아에게 남겨졌습니다.
17세의 갈로아는 이 분야에서 진전을 이루었고, 몇 년 동안 여러 연구 논문을 제출했습니다. 그러나, 그의 논문은 반드시 인정받지는 않았고, 오히려 거부되거나 분실되었습니다. 갈로아는 수학 커뮤니티에서 인정받지 못한 채 점점 더 실망했습니다. 그 후, 일련의 불행한 사건들이 그를 따라왔습니다. 그는 심한 타격을 받은 후 정치로 전향하였고, 두 번이나 감옥에 들어갔습니다. 1832년, 그는 의미 없는 결투에 참여했습니다. 결투 전날 밤, 그는 밤새 자신의 연구 결과를 간단히 설명하는 글을 쓰었습니다. 1832년 5월 30일, 결투에서 갈로아는 불행히 쓰러졌고, 다음 날 21세의 나이로 사망했습니다. 10년 이상 후에 그의 논문은 다시 편집되어 출판되었고, 사람들은 그의 천재적인 생각을 인정했습니다.
갈로아의 아름다운 생각은 그가 일반적인 5차 이상의 대수 방정식이 정수로 해결될 수 없다는 것을 증명했을 뿐만 아니라, 일반적인 2차, 3차, 4차 방정식이 해결될 수 있는 이유를 설명했습니다. 그의 연구는 또한 300년 동안 지속되었던 대수 방정식의 정수 해결 가능성에 대한 명확한 판별 기준을 제공하였고, 이로써 대수 방정식의 정수 해결 가능성에 대한 세기 오래된 문제에 결정적인 종지부를 찍었습니다. 갈로아의 연구의 획기적인 의의는 이 문제를 해결하는 과정에서 그가 그룹 이론의 개념을 도입하였고, 수학 연구의 새로운 장을 열었다는 것입니다.