대부분의 사람들에게 전체가 부분보다 크다는 것은 분명한 사실입니다. 고대 그리스 수학자 유클리드는 이것을 기하학 서적 '원리'에 아이오마(axiom)으로 제시했습니다. 그런데 만일 누군가 전체와 그 부분의 수가 같을 수 있다고 말한다면 여러분은 놀라실 것입니다!
이 문제를 더 명확히 하기 위해 우리는 두 개의 객체의 수가 같다는 것을 어떻게 생각할지 고려해 보자. 예를 들어, 한 공연장에서 모든 좌석이 채워져 있고 아무도 서있지 않다고 가정해보자. 좌석의 수와 사람들의 수를 세지 않고도 우리는 그들이 같은 수를 가지고 있다는 것을 알 수 있습니다. 이는 좌석과 사람들이 일대일로 대응되기 때문입니다. 추상적으로 말하자면, 두 집합이 일대일로 대응되면 그들의 원소 수는 같습니다. 분명히, 유한한 집합은 그 부분과 일대일로 대응할 수 없습니다. 그러면 무한한 집합은 어떨까요?
1638년, 이탈리아 물리학자 갈릴레오는 자신의 책에서 다음과 같은 놀라운 사실을 기록했습니다. 그것은 모든 양수가 그 제곱수와 일대일로 대응된다는 것을 보여주었고, 따라서 제곱수의 수는 양수와 같습니다. 그러나 제곱수는 양수의 일부일 뿐이므로 양수는 그 부분과 같은 수를 가질 수 있습니다. 갈릴레오의 발견은 당시에는 주목을 받지 못했습니다. 200년 후, 체코의 수학자 보르차노가 같은 사실을 재발견했고, 더 일반적으로 무한한 집합이 그의 진정한 부분집합과 일대일로 대응될 수 있다고 주장했습니다. 그러나 그것은 여전히 주목을 받지 못했습니다. 1872년 이후에야 독일 수학자 칸토르가 무한한 집합에 대한 심층적인 연구를 시작했습니다. 칸토르는 무한한 집합의 본질적인 특성은 그 진정한 부분집합과 같은 크기를 가질 수 있다고 확신했습니다. 게다가, 그는 무한한 집합에 대해 더 많은 예상치 못한 사실을 발견했습니다.