독일 수학자 칸토르가 만들어낸 무한집합 이론은 매우 파국적이었고, 그 이론을 처음 제안할 때는 많은 저항과 공개적인 반대를 받았습니다. 그러나 많은 수학자들은 이 이론을 지원했고, 그중에는 20세기 위대한 수학자 힐버트도 있었습니다. 힐버트는 무한의 특성을 설명하기 위해 다음과 같은 이야기를 강의에서 했다고 합니다.
우리는 한 호텔이 있다고 가정해 보자. 이 호텔에는 제한된 수의 방이 있고, 모든 방이 다 가득 채워져 있습니다. 그러자 새로운 손님이 방을 요구합니다. 호텔 주인은 “미안합니다. 모든 방이 다 가득 차 있어요.”라고 말합니다. 그런데 무한개의 방이 있는 호텔에서도 모든 방이 다 가득 차 있습니다. 그러자 새로운 손님이 방을 요구합니다. “하지만… 좋습니다!”라고 호텔 주인이 생각하며 말합니다. 그런 다음, 1번 방에 머물던 손님을 2번 방으로, 2번 방에 머물던 손님을 4번 방으로, 3번 방에 머물던 손님을 6번 방으로… 이런 식으로 옮겨주고, 새로 온 손님은 1번 방에 들어가게 됩니다.
여전히 같은 호텔이고, 모든 방이 다 가득 차 있습니다. 그러자 무한개의 새로운 손님이 방을 요구합니다. 이전의 경험을 바탕으로 호텔 주인은 기꺼이 말합니다. “좋아요, 기다리세요.” 그런 다음, 1번 방에 머물던 손님을 2번 방으로, 2번 방에 머물던 손님을 4번 방으로, 3번 방에 머물던 손님을 6번 방으로… 이런 식으로 옮겨주고, 원래의 손님들은 모두 偶数号의 방으로 이동하며, 새로 온 무한개의 손님은 奇수号의 방으로 바로 들어가게 됩니다. 이러한 이야기는 여기서 끝나며, 그 호텔은 이후 힐버트 호텔로 알려져 있었습니다. 힐버트가 이 이야기를 들려주는 이유는 사람들이 “무한집합”이라는 개념을 더 잘 이해할 수 있도록 하기 위해서였습니다. 호텔 주인이 각 경우에 새로운 손님을 수용할 수 있었던 이유는 그가 각 경우에 무한집합에서 다른 무한집합으로 일대일 대응관계를 설정했기 때문입니다.