여러분 모두가 알다시피, 수직선상에 표현된 양수들은 간격을 두고 배열되어 있고, 두 개의 합리수 사이에는 항상 다른 합리수, 예를 들면 그들의 평균을 찾을 수 있습니다. 이는 합리수가 양수보다 훨씬 많다는 것을 암시합니다. 그러나 합리수와 양수는 실제로 같은 수입니다. 다시 말하자면, 모든 합리수는 양수와 일대일로 대응될 수 있습니다.
이 사실은 1873년에 칸토르가 발견한 것입니다. 그는 먼저 모든 양수 합리수를 고려했고, 아래에 나와 있는 배열 방식에 따라 모든 양수 합리수와 양수를 일대일로 대응시킬 수 있습니다. 분명히, 모든 양수 합리수는 이 배열에 나타납니다. 화살표에 따라 순서를 바꾸고 이미 나온 수를 제거하면, 모든 양수 합리수의 무한한 시리즈를 얻을 수 있습니다. 따라서, 모든 합리수의 무한한 시리즈가 구성되었습니다. 그로 인해, 합리수 집합과 양수 집합 사이에 일대일 대응이 이루어졌고, 합리수와 양수는 같은 수라는 것이 입증되었습니다.