여러분도 아시다시피, a+bi 형태의 수는 복소수라고 불리는데, 여기서 a와 b는 실수이고, i는 우리가 일반적으로 알고 있는 실수와 매우 다른 수입니다. 우리의 현실 세계에서는 이런 수를 찾아볼 수가 없습니다. 그렇다면 왜 이런 수를 도입해야 하는지 스스로 생각해 보십시오. 중학교 수학 교과서에 따르면, 2차 방정식 ax 2 + bx + c = 0을 풀 때, 만약 ∆ = b 2 - 4ac < 0이면, 방정식에는 상대복소수 루트가 두 개 있습니다. 그렇습니다, 복소수를 도입하면, ∆ < 0일 때도 루트가 있습니다. 하지만, 실수 영역에서는 루트가 없을 수도 있는데, 이는 실제에 더 가깝고, 인위적으로 보이지 않는 복소수 루트를 도입할 필요가 없습니다. 역사적으로, 복소수는 16세기 이탈리아 수학자 카르다노가 도입했습니다. 그가 복소수를 도입한 주된 이유는 세차방정식을 해결하기 위해서였습니다. 이를 위해 우리는 한 예를 살펴보자. 세차방정식 x 3 - 7x + 6 = 0을 고려하면, 위 방정식에서 x = 1, x = 2, x = -3이라는 세 개의 실수 루트가 있습니다. 세차방정식은 최대 3개의 서로 다른 루트를 가질 수 있으며, 위의 세 개의 루트가 방정식의 모든 루트입니다. 카르다노는 이미 x 3 + px + q = 0의 세차방정식의 루트 공식을 알고 있었습니다. 이를 위해 위의 방정식을 적용하면, p = -7, q = 6이고, 이때 위의 공식에서는 이러한 수를 처리해야 합니다. 카르다노는 ∆ < 0일 때, 실수 루트를 구하려면 음수의 제곱을 계산해야 하며, 이는 음수의 제곱에서 새로운 수를 생성할 수 있다는 것을 발견했습니다. 그리고 그는 이러한 새로운 수를 수학에 도입했습니다. 이것이 오늘날 우리가 복소수라고 부르는 수입니다. 당시 사람들은 이러한 수를 다음과 같이 표기했는데, 여기서 a와 b는 실수입니다. 나중에 유클리드 에울러는 i를 사용하도록 제안했고, 오늘날 우리는 복소수를 다음과 같이 표기합니다. a + b i. 복소수가 수학에 도입된 이후, 복소수는 오직 '떠나지 않았을 뿐'입니다. 그리고 이용 가능성은 계속 확대되고 있습니다. 복소수는 세차방정식뿐만 아니라 트라이고니미트리도 계산하는 데 사용됩니다. 유명한 데모프의 공식이 이에 해당됩니다. 여기서 n = 2와 n = 3을 취하면 倍角 공식과 三倍角 공식을 얻을 수 있고, 이로부터 n 倍角 공식도 얻을 수 있습니다. 많은 실수 영역의 문제들은 복소수 영역에서 간단하게 또는 영리하게 해결할 수 있습니다. 프랑스 수학자 아다마의 말이 적합합니다. 실수 영역의 두 진리 사이의 가장 짧은 길은 복소수 영역을 통해 이어집니다.
왜 우리는 복수형이 필요한가?
이 글은 ‘왜 우리는 복소수가 필요한가’라는 질문을 중심으로 복소수의 정의를 소개하며, 중학교 수학 교과서에서 두차원 방정식의 판별식이 0보다 작을 때 복소수를 도입하는 것이 불필요하게 생각되는 경우가 많다고 지적합니다. 또한 16세기 이탈리아 수학자 카르다노가 세차원 방정식을 해결하기 위해 복소수를 도입한 역사적 배경을 설명하며, 유클리드가 복소수의 표현 방식을 완성하고, 복소수가 트리고니메트리 등 분야에서 적용되었으며, 프랑스 수학자 아다마가 ‘실수 영역에서 두 개의 진실 사이의 가장 짧은 길은 복소수 영역을 통해 이루어진다’라는 고전적인 평가를 언급합니다.
