자연로그의 기반인 e = 2.718281828…은 수학에서 중요한 상수입니다. 이 상수를 왜 도입해야 하는가? 어떤 중요한 용도가 있는가? 자세히 살펴보자.
먼저 이상적인 복리의 문제를 고려해 보자. 1년의 이자율이 1%인 은행이 있다고 가정해 보자. 고객이 연초에 1원을 예치하면, 연말에 원금과 이자를 합친 금액은 1+1 = 2원이 된다. 만약 은행이 더 짧은 기간의 예금에도 같은 이자율을 적용한다면, 예금 기간이 한 해 동안 차지하는 비율에 따라 이자율을 할인해 계산할 수 있다. 예를 들어, 6개월 기간의 이자율은 1/2, 3개월 기간은 1/4, 1개월 기간은 1/12이다. 이때 고객은 더 나은 예금 전략을 취할 수 있다. 1원을 6개월 동안 예치하고 만기가 되면 원금과 이자를 재투자하면, 연말에 원금과 이자의 합계는 다음과 같다. 만기가 3개월인 경우는 다음과 같고, 1개월인 경우는 다음과 같다. 여기에서 볼 수 있듯이, 예금 기간이 짧아질수록 복리로 계산한 연말 원금과 이자의 합계가 더 커진다. 만약 은행이 예금 기간을 하루, 한 시간, 한 분 등으로 제한하면, 1원을 예치한 후 1년 후에 원금과 이자의 합계는 얼마나 커질까? 고객은 그로 인해 부자가 될 수 있을까?
1697년, 스위스 수학자 야코브 버누리는 이 문제를 고려했다. 1년을 등분하고, 이러한 기간 동안 복리를 계산하면, 1년 후의 원금과 이자의 합계는 야코브 버누리는 입증했으며, 기간이 n으로 무한히 큰 경우, 이 합계는 무한히 커질 수 있지만, 특정한 수값에 접근할 것이며, 이 수값은 2와 3 사이에 있다. 지금 우리는 이 수값이 2.718281828…이라는 것을 알고 있다. 수학적 極限의 용어로, 기간이 n으로 무한히 큰 경우, 시리즈의 극한값이 존재한다는 것을 의미한다. 이는 고객이 예금 기간을 얼마나 단축하더라도 연말 원금과 이자의 합계는 이 시리즈의 극한값인 2.718281828…을 넘지 못할 것이라는 것을 의미한다. 만약 매 순간 복리를 계산한다면, 연말 원금과 이자의 합계는 이 극한값이 될 것이다. 그러나, 여기서 '이자율' x는 양수일 수 있고, 음수일 수 있으며, 0이 아닌 실수여야 한다.
위에서 언급한 은행은 물론 가상의 수학적 모형이지만, 실제 많은 자연 현상이 이 모형에 적합합니다. 만약 양이 정기적으로 특정한 비율로 증가(또는 감소)한다면, 이 양의 변화는 위의 지수 증가(또는 감소) 법칙에 따라 이루어집니다. 예를 들어, 방사성 물질의 질량은 시간이 지남에 따라 감소하며, 소리파동이나 빛파동의 강도는 전파 거리에 따라 감소하며, 인간의 다양한 자극에 대한 반응과 자극의 강도간의 관계 등은 위의 지수 비율에 따릅니다. 마르사스의 인구 지수 증가에 대한 결론도 같은 수학적 모형에 기반하였습니다.
유클리드 또한 指数函수 e^x의 순간 변화율(즉, 미분)이 바로 그 자신이라는 것을 입증했습니다. 예를 들면, 이동하는 물체가 t 시점에 e^t의 속도를 가지고 있다면, t 시점의 가속도도 e^t입니다. 함수 e^x의 이 독특한 특성 때문에, e^x는미분 계산, 미분 방정식 해결 등의 애플리케이션에서 특별한 역할을 하며, 이는 다양한 이론적 유도와 엔지니어링 계산에 사용됩니다.계산 과정에서 수 e와 e^x가 계속 나타납니다.
기술의 발전과 수학의 발전으로 수 e의 용도가 점점 더 다양해지고 있습니다. 수학의 여러 분야에서 수 e를 찾을 수 있습니다. 이는 기하급수 함수가 e를 기반으로 하는 독특한 특성 때문입니다.