В школе мы изучали уравнения, в частности так называемые алгебраические уравнения, например 3x – 1 = 0, x2 – 2x – 8 = 0 и т. д. Одна из главных особенностей таких уравнений заключается в том, что каждый член, содержащий неизвестное, состоит только из целочисленных степеней неизвестного. Кроме того, эти уравнения имеют ещё две важные особенности: количество членов ограничено, а коэффициенты неизвестных являются целыми числами. Теперь давайте ответим на вопрос: являются ли все действительные числа корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами? Для удобства мы будем называть алгебраические уравнения с целочисленными коэффициентами просто алгебраическими уравнениями. Во-первых, очевидно, что все рациональные числа q = m / n являются корнями алгебраического уравнения nxm = 0, где m и n — целые числа (n ≠ 0). Во-вторых, все, кто изучал квадратные уравнения, знают, что корни алгебраических уравнений не обязательно должны быть рациональными. Например, два корня уравнения x2 – 2 = 0 — иррациональные числа. Таким образом, корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами могут быть как рациональными, так и иррациональными, и, по крайней мере, на первый взгляд они способны представлять все действительные числа.
Однако способность представлять не означает, что это можно сделать на самом деле. Первым, кто дал отрицательный ответ на вопрос "Являются ли все действительные числа корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами?" и представил доказательство, был французский математик Жюль Анри Пуанкаре. Он не только доказал, что некоторые действительные числа не являются корнями ни одного алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами, но и конструктивно построил такие числа, тем самым наиболее убедительно доказав отрицательный ответ. Первые неалгебраические корни, построенные Пуанкаре, были выражены в виде непрерывных дробей, а затем он также построил такие числа в виде десятичных дробей. В память о вкладе Пуанкаре эти числа, построенные им, называют числами Пуанкаре.
Теперь мы знаем, что многие важные действительные числа, такие как основание натуральных логарифмов e и число π, не являются корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами. Для удобства математики называют числа, которые могут быть представлены корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, алгебраическими числами, а те, которые не могут быть представлены такими корнями, — трансцендентными. Реальные числа включают как алгебраические, так и трансцендентные числа. Примеры алгебраических чисел — это основание натуральных логарифмов e и число π; примеры трансцендентных чисел — e + π и e – π. Однако, являются ли такие простые комбинации, как e + π и e – π, трансцендентными, до сих пор остаётся загадкой.
Далее мы можем задать вопрос: алгебраических чисел больше или трансцендентных чисел больше? Судя по тому, как сложно построить и доказать трансцендентность чисел, многие читатели могут предположить, что лишь немногие числа являются трансцендентными. Однако всё наоборот. В 1874 году немецкий математик Георг Кантор доказал, что трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических (здесь речь идёт о сравнении количества элементов бесконечных множеств). Фактически он доказал, что почти все реальные числа являются трансцендентными, то есть если случайным образом выбрать число из множества реальных чисел, то вероятность того, что оно будет алгебраическим числом, равна 0!
Существование трансцендентных чисел имеет не только абстрактное классификационное значение, но и позволяет решать некоторые конкретные математические задачи. Например, доказано, что длина отрезка, который можно построить с помощью циркуля и линейки, может быть только алгебраическим числом (при заданной единице измерения). Таким образом, π является трансцендентным числом, что, казалось бы, имеет только абстрактное классификационное значение. Однако это доказательство напрямую показывает, что
接下来我们要回答一个问题：算术数多还是超越数多？从超越数的构造和证明如此困难来看，也许很多读者会猜测只有很少的数是超越数。事实恰恰相反。1874年，德国数学家康托尔证明，超越数远比算术数多（这里涉及的是无穷集合元素数目的比较）。事实上，他证明了几乎所有实数都是超越数——换句话说，如果从实数中随机选取一个数，它是算术数的概率为0！
超越数的存在不仅具有抽象的分类意义，而且可以解决一些具体的数学问题。例如，几何中的尺规作图方法所能作出的线段长度，已被证明只能是算术数（如给定单位长度）。因此π是超越数，这一看似只有抽象分类意义的结果，直接证明了Один из "Трех задач о циркуле и линейке", волнующих математиков более 2300 лет, — превращение круга в квадрат, — невозможно выполнить.