Для одночлена алгебраических уравнений существуют формулы решения? Такие уравнения, как 2x – 6 = 0, x2 – 3x + 2 = 0, x3 – 5x – 12 = 0 и т. д., называются одночленами алгебраических уравнений. В зависимости от степени наивысшего члена они также называются одночленами первой степени, одночленами второй степени, одночленами третьей степени и т. д. Для одночленов первой степени решение чрезвычайно простое. Что касается одночленов второй степени, то многие древние цивилизации также нашли правильные результаты при их решении. Фактически, для обычного одночлена второй степени ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) у нас есть формула решения: в формуле решение уравнения представлено в виде операций с коэффициентами и корнями, поэтому решение, полученное с помощью этой формулы, называется корневым решением уравнения.
Европейские математики в XII веке освоили метод решения квадратных уравнений. После этого они начали исследовать корневые решения одночленов третьей степени. Прошли века, и многие усилия закончились неудачей. В 1494 году некоторые математики даже делали пессимистические прогнозы: решение кубических уравнений, как и квадратура круга, было просто невозможно. Однако примерно в 1500 году итальянский математик Ферро добился первого успеха, получив формулу решения для одночленов третьей степени с недостающими членами: x3 + mx = n. Однако он не опубликовал свои результаты и только перед смертью передал свои решения своим ученикам, Фиолу и другим. Вскоре другой итальянский математик Тарталья заявил, что нашел метод решения кубических уравнений. В 1535 году между Фиолем и Тартальей состоялось публичное соревнование. Они договорились решить 30 кубических уравнений каждый и тот, кто решит больше задач, победит. Первоначально Тарталья владел только решением одночленов третьей степени без первого члена. Чтобы победить в соревновании, он несколько дней подряд размышлял и в последний момент перед соревнованием нашел решения для различных типов одночленов третьей степени. Результатом соревнования стала блестящая победа Тартальи.
Вскоре после соревнования другой математик Кардано (также известный как Кардан) услышал об этом. После этого он несколько раз спрашивал Тарталью о решении кубических уравнений. В конце концов, Тарталья, дав клятву никому не раскрывать секрета, показал Кардано свои тайны. После этого Кардано, изучив различные типы кубических уравнений, нашел для них решения и доказательства. В 1545 году Кардано опубликовал свою самую важную математическую работу "Великое искусство", в которой он обнародовал свои открытия, а также включил важное открытие своего ученика Феррари: общее решение квадратных уравнений четвертой степени. Неверное обещание Тартальи вызвало ссору, и 10 августа 1548 года в Милане состоялась публичная дискуссия, которая довела конфликт до предела. В этом публичном, но несправедливом соревновании с Феррари Тарталья потерпел поражение. До сих пор формула решения кубических уравнений называется формулой Кардано.
Однако математика никогда не стоит на месте. Решение одной проблемы часто означает рождение новой. После "Великого искусства" люди сразу же приступили к следующему соревнованию - поиску корневых формул для пятых уравнений. Никто не сомневался, что одночленов пятой степени тоже можно решить, если есть достаточно таланта. Но прошло столетие, а затем еще столетие, и никто не добился успеха.
В конце 1823 года произошел настоящий прорыв. Всего 21-летний норвежский математик Абель доказал, что у обычных одночленов пятой степени нет корневых решений. Именно по этой причине в течение более двух столетий люди безуспешно искали этот "святой грааль". АбельВы сделали несколько копий результатов своих исследований. Чтобы сэкономить на печати, он сжал суть своих идей до шести страниц. Чрезмерно упрощенные доказательства сделали его работу непонятной для математического сообщества, и поэтому она не произвела впечатления на математиков того времени. Абель, всю жизнь страдавший от бедности и болезней, умер 6 апреля 1829 года в возрасте чуть меньше 27 лет.
Вскоре после смерти Абеля его доказательства начали приниматься, но оставались еще новые проблемы. Какие уравнения можно решить с помощью корней, а какие нет? Существует ли подходящий метод определения? Абель не успел решить эту проблему из-за ранней смерти, и она осталась для Галуа, одного из самых легендарных и трагических математиков в истории математики.
В 17 лет Галуа уже добился прогресса в этой области, а затем в течение нескольких лет представлял несколько научных работ. Однако его работы либо возвращались, либо терялись, либо не понимались, и Галуа, так и не получивший признания математического сообщества, все больше разочаровывался. Затем последовала череда несчастных личных событий. После тяжелого удара его интерес переключился на политику, за что он дважды попадал в тюрьму. В 1832 году он участвовал в бессмысленной дуэли. В ночь перед дуэлью он работал над кратким изложением своих результатов. 30 мая 1832 года Галуа был убит на дуэли и умер на следующий день в возрасте 21 года. Более десяти лет спустя его работы были отредактированы и опубликованы, и его гениальные идеи получили признание.
Красота идей Галуа заключалась в том, что он не только доказал, что обычные однородные пятые (и более высокие) алгебраические уравнения не могут быть решены с помощью корней, но и объяснил, почему обычные однородные вторые, третьи и четвертые алгебраические уравнения могут быть решены. Его исследования также дали четкий критерий того, имеют ли алгебраические уравнения корневые решения, и тем самым завершили 300-летнюю задачу о корневых решениях алгебраических уравнений. Эпохальное значение работы Галуа заключалось в том, что в процессе решения этой проблемы он ввел идеи теории групп, открыв новую эру в математических исследованиях.