Для большинства людей аксиома "целое больше, чем его части" является самоочевидным и неоспоримым фактом. Древнегреческий математик Евклид даже записал её в качестве аксиомы в своём труде "Начала". Но если кто-то скажет вам, что количество частей и целого может быть одинаковым, вы удивитесь?
Чтобы прояснить этот вопрос, давайте сначала рассмотрим, что означает тождество количества двух вещей. Предположим, что на представлении в театре все места заняты, и никто не стоит. Тогда, не считая количество мест и людей, мы можем сказать, что их количество одинаково. Это потому, что между местами и людьми можно установить взаимно однозначное соответствие. Абстрактно говоря, если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то количество их элементов будет одинаково. Очевидно, что для конечного множества невозможно установить взаимно однозначное соответствие с его частью. Но как обстоит дело с бесконечными множествами?
В 1638 году итальянский физик Галилео Галилей записал в своей книге следующий удивительный факт: каждое положительное целое число однозначно соответствует его квадрату, поэтому квадратов столько же, сколько и положительных целых чисел. Но квадраты — лишь часть положительных целых чисел, поэтому положительные целые числа могут быть равны своей части. Открытие Галилея не привлекло внимания в то время. Спустя 200 лет чешский математик Больцано снова указал на тот же факт, но в более общем виде: бесконечное множество может быть взаимно однозначно сопоставлено со своим собственным подмножеством. Но и это не получило широкого внимания. Только после 1872 года немецкий математик Кантор начал серьёзное изучение бесконечных множеств. Кантор был убеждён, что способность множества быть равным своему собственному подмножеству является существенной характеристикой бесконечного множества. Более того, он обнаружил, что с бесконечными множествами происходит гораздо больше неожиданных вещей, чем можно себе представить.