Действительно ли простых чисел конечное или бесконечное количество? Это очень важный вопрос. На самом деле, простых чисел бесконечно много, однако это не очевидно. Первое доказательство бесконечности простых чисел содержится в знаменитом труде Евклида "Начала", в теореме 20 девятой книги. Евклид использовал метод отрицания. Предположим, что существует только k простых чисел, упорядоченных от меньшего к большему как p1, p2, …, pk, и рассмотрим число P = p1p2…pk + 1. Очевидно, что pk больше pk, поэтому pk должно быть составным числом. Пусть pk является любым простым делителем pk, тогда p должно быть одним из p1, p2, …, pk, и, следовательно, p должно делить 1. Это противоречие доказывает, что простых чисел бесконечно много.
Ещё одно доказательство бесконечности простых чисел было дано Эйлером. Также используя метод отрицания, он предположил, что существует только k простых чисел, упорядоченных от меньшего к большему как p1 (=2), p2 (=3), …, pk, где k — некоторое натуральное число. Рассмотрев произведение, очевидно, что N является конечным натуральным числом. Используя формулу суммы геометрической прогрессии и основную теорему арифметики, можно показать, что каждое целое число больше 1 можно записать как произведение некоторых степеней p1, p2, …, pk, и, следовательно, удалив все скобки из первого выражения, можно получить Однако Эйлер уже знал, что сумма обратных чисел в правой части вышеуказанного уравнения бесконечна, что приводит к противоречию. Таким образом, доказано, что простых чисел бесконечно много.
Если бы простых чисел было только конечное количество, многие проблемы в теории чисел не были бы столь сложными (например, гипотеза Гольдбаха исчезла бы). Однако в этом случае очарование и исследовательская ценность теории чисел значительно уменьшились бы. Доказательство Эйлера, хотя и немного сложнее, чем у Евклида, вдохновило немецкого математика Римана на исследование распределения простых чисел с помощью ζ-функции.
После доказательства того, что простых чисел бесконечно много, можно задать более глубокий вопрос: сколько простых чисел не превышает большого числа x на числовой оси? В конце 18 века Гаусс и Лежандр предположили, что количество простых чисел, не превышающих x, составляет примерно x/lnx, и чем больше x, тем точнее это приближение. Доказательство этой гипотезы дал Риман, разработав и развив теорию ζ-функции. Работа Римана явно была вдохновлена доказательством Евклида о бесконечности простых чисел. Следуя указанным Риманом направлениям, французский математик Адам и бельгийский математик Пуассон в 1896 году, спустя более 100 лет после выдвижения гипотезы Гаусса, дали доказательство, и с тех пор эта гипотеза стала известна как теорема о простых числах.
Развивая теорию ζ-функции, Риман выдвинул знаменитую гипотезу Римана, которая до сих пор не доказана. Гипотеза Римана тесно связана с распределением простых чисел, и одной из её эквивалентных форм является то, что теорема о простых числах имеет лучшую возможную погрешность.