Во всех последовательностях чисел числа Фибоначчи, несомненно, являются самыми известными. В 1202 году математик Леонардо Фибоначчи, родившийся в Пизе, Италия, завершил свой знаменитый труд "Книга абака", в котором исследовал интересную "проблему размножения кроликов", откуда и происходит последовательность Фибоначчи.
Проблема размножения кроликов на самом деле является математической моделью, предложенной Фибоначчи: предположим, что пара взрослых кроликов в год рожает пару детенышей, а через год эти детеныши вырастают в пару взрослых кроликов, причем все кролики бессмертны. Как же тогда будут размножаться кролики?
В первый год будет только одна пара детенышей. Во второй год детеныши вырастут в пару взрослых кроликов, и общее количество пар останется равным 1. В третий год взрослые кролики родят пару детенышей, и общее количество пар увеличится до 2. В четвертый год взрослые кролики снова родят пару детенышей, а первая пара вырастет в пару взрослых кроликов, и общее количество пар увеличится до 3.
...
Подводя итог законам размножения кроликов, можно заметить, что каждый год количество пар кроликов равно количеству пар в предыдущем году плюс количество новых пар, рожденных в этом году, то есть количество пар в n-м году равно количеству пар в (n-1)-м году плюс количество пар в (n-2)-м году.
То есть, если записать количество пар в n-м году как Fn, то F1 = F2 = 1, а для n≥3 Fn = F(n-1) + F(n-2), откуда получается следующая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987… Начиная с третьего элемента каждая последующая пара равна сумме двух предыдущих. Поскольку эта последовательность была впервые изучена Фибоначчи, она получила название последовательность Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи является очень интересной, полезной и известной последовательностью чисел, обладающей многими удивительными свойствами, исследование которой математиками не прекращается до сих пор. Ниже мы кратко рассмотрим несколько из них.
Из шести квадратов со сторонами, равными первым шести числам Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8), можно составить прямоугольник со сторонами 8 и 13. В общем, n квадратов, стороны которых равны первым n числам Фибоначчи, можно составить прямоугольник со сторонами Fn и F(n+1). Фактически, с помощью математической индукции можно доказать следующее свойство:
Последовательность Фибоначчи также имеет общую формулу: где — знаменитое золотое сечение.
Разве это не удивительно, что последовательность, состоящая только из натуральных чисел, может быть представлена иррациональным числом ? Уже в середине 18 века известные математики Дамо и Эйлер знали эту формулу. В середине 19 века французский математик Жак Филипп Пине снова открыл эту формулу.
Кроме того, можно заметить, что по мере увеличения n соотношение двух последовательных элементов последовательности Фибоначчи F(n+1)/Fn все больше приближается к золотому сечению ?.
Помимо многих математических свойств, ученые также заметили, что некоторые количества в растительном мире также следуют последовательности Фибоначчи, например, количество ветвей на деревьях, количество лепестков цветов, количество гранул плодов, расположение коры на стволе и т. д. На прекрасном подсолнечнике есть спираль из левых и правых линий, если их количество составляет 13, то количество правых линий будет 21, а общее количество — 34. Также на сосне чешуйки расположены в спирали: 5 чешуек справа или слева, а противоположные — 8 чешуек. Кроме того, многие цветы имеют 3, 5, 8, 13, 21 и т. д. лепестков, если вам интересно, вы можете найти несколько цветов и посчитать их.
Листья растений расположены по спирали на стебле. В 1611 году немецкий астроном Кеплер обнаружил, что если расположить ветви или стебли вокруг ствола, то количество ветвей, расположенных справа или слева, будет равно количеству ветвей, расположенных слева или справа.Два ближайших листа на одном и том же направлении рассматриваются как начало и конец цикла. В течение этого цикла может быть много листьев, которые могут обернуться вокруг ветки или стебля несколько раз. Если общее количество листьев в цикле обозначить как m, а количество оборотов листьев в цикле — как n, то числа m и n связаны с последовательностью Фибоначчи. Например, у ивы n = 1, m = 2; у бука n = 1, m = 3; у вишни и дуба n = 2, m = 5 (то есть в каждом цикле 5 листьев, и цикл заканчивается после 2 оборотов); у груши n = 3, m = 8; у ивы n = 5, m = 13. Все эти числа являются числами последовательности Фибоначчи, и это просто потрясающе!
Существует ещё много историй о последовательности Фибоначчи, особенно о её тесной связи с золотым сечением.