Возьмите обычный лист бумаги формата А4. Как часто, по вашему мнению, вы сможете его сложить? Если вы попробуете, вы обнаружите, что ваша оценка, скорее всего, будет завышена. На самом деле, вы сможете сложить его не более 7 раз. Почему лист бумаги становится все труднее складывать после нескольких сгибов? Давайте посмотрим, как толщина бумаги меняется с количеством сгибов. Если толщина листа А4 составляет 0,1 мм, то после одного сгиба она увеличится до 0,2 мм, после двух — до 0,4 мм… Толщина бумаги увеличивается в геометрической прогрессии с каждым сгибом. В то же время ширина бумаги уменьшается в той же прогрессии. Длина длинной стороны А4 составляет около 300 мм. После первого сгиба она уменьшится до 150 мм, после второго — до 75 мм… Итак, если лист толщиной 0,1 мм и длиной 300 мм будет сложен 7 раз (если вы действительно сможете это сделать!), вы получите стопку толщиной 12,8 мм и шириной 2,34 мм. После восьмого сгиба толщина будет составлять 25,6 мм, а ширина — 1,17 мм. Толщина будет более чем в 20 раз превышать ширину. Очевидно, что никто не сможет добиться такого результата.
Если складывать бумагу не попеременно в разных направлениях, а просто продолжать складывать в одном направлении; если выбрать бумагу большего размера или длины, сможем ли мы сложить её большее количество раз? Верно ли утверждение, что "невозможно сложить лист бумаги более 7 раз"? Зарубежное телешоу "Разрушители мифов" решило проверить это утверждение. Экспериментаторы начали с листа бумаги толщиной 0,1 мм, размером с футбольное поле, и, используя механические инструменты, смогли выполнить 11 сгибов.
В 2001 году американская старшеклассница представила более совершенный ответ на этот вопрос. Она тщательно изучила как метод попеременного складывания в разных направлениях, так и метод непрерывного складывания в одном направлении. В итоге она пришла к выводу, что для успешного многократного складывания листа бумаги лучше выбрать длинный и узкий лист. Она также вывела формулу для количества сгибов, минимальной длины листа и толщины материала в этом случае. Согласно её формуле, чтобы успешно сложить лист бумаги 12 раз, нужно выбрать подходящую туалетную бумагу, длина которой должна быть не менее 1,2 км.
В январе 2002 года она вместе с родителями отправилась в крупный торговый центр, чтобы побить этот рекорд. Она разложила длинный рулон туалетной бумаги и начала складывать его. Через 7 часов она сложила его 11 раз, получив плиту высотой 80 см и шириной 40 см. Ещё один сгиб, и ей удалось сложить этот длинный лист бумаги 12 раз.
В 2011 году учитель математики и 15 учеников, используя рулон туалетной бумаги длиной более 3,2 км, установили новый рекорд: 13 сгибов. Может быть, если использовать более длинную бумагу и больше терпения, рекорд можно будет побить снова? Простые подсчёты показывают, что толщина листа бумаги толщиной 0,1 мм после 20 сгибов достигнет 10^5 м, а после 30 сгибов — 10^7 км. А после 51 сгиба его толщина превысит расстояние от Земли до Солнца! Действительно, трудно представить, что такая тонкая бумажка может стать настолько толстой после всего нескольких десятков сгибов. В примере с оригами мы видим, как при постоянном удвоении количества сгибов после ограниченного числа раз получается огромное число.