Основатель теории множеств, немецкий математик Кантор, представил теорию бесконечных множеств, которая, можно сказать, шокировала мир. В начале её разработки она столкнулась с большим сопротивлением и даже открытой критикой. Однако многие математики оказали ей значительную поддержку, в том числе великий математик XX века Гильберт. Говорят, что Гильберт, чтобы проиллюстрировать свойства бесконечности, рассказал на лекции следующую историю.
Представьте себе отель с ограниченным количеством номеров, все из которых заняты. Приходит новый гость и просит забронировать номер. Владелец отеля говорит: "Извините, все номера заняты". Представьте теперь отель с бесконечным количеством номеров, все из которых также заняты. Приходит новый гость и просит забронировать номер. "Ну… да, нет проблем!" — говорит владелец отеля после раздумий. Затем он перемещает гостя, который занимал комнату № 1, в комнату № 2, гостя, который занимал комнату № 2, в комнату № 3, и так далее. Таким образом, новый гость заселяется в освободившуюся комнату № 1.
Всё тот же отель, и все номера в нём снова заняты. Приходит бесконечное количество новых гостей, которые просят забронировать номера. Основываясь на своём предыдущем опыте, владелец отеля с удовольствием говорит: "Хорошо, господа, подождите минутку". Затем он перемещает гостя, который занимал комнату № 1, в комнату № 2, гостя, который занимал комнату № 2, в комнату № 4, и так далее. Таким образом, все прежние гости заселяются в чётные номера, а новые бесконечное количество гостей могут напрямую заселиться в освободившиеся нечётные номера. Таким образом, все бесконечное количество новых гостей с удовольствием заселяются в отель.
На этом рассказ об этой истории завершается. Позже этот отель стал известен как Отель Гильберта. Гильберт рассказывал эту историю, чтобы помочь людям более наглядно понять концепцию "бесконечных множеств". Тот факт, что владелец отеля каждый раз мог решить проблему размещения новых гостей в условиях полной занятости номеров, объяснялся тем, что он каждый раз устанавливал соответствие между одним бесконечным множеством и другим бесконечным множеством.