В средневековой Европе итальянцы считали 6 числом, принадлежащим богине любви Венере, и символом счастливого брака. Также 6 называлось совершенным числом. Однако, когда оно попало в Китай, у него появилось другое название — "идеальное число". Если сумма всех делителей натурального числа (не считая самого числа) равна этому числу, то оно называется совершенным. На самом деле, когда оно попало в Китай, у совершенных чисел было ещё одно название — "идеальные числа". Если сумма всех делителей натурального числа (не считая самого числа) равна этому числу, то оно называется совершенным. Неудивительно, что 6 имеет три делителя: 1, 2 и 3, и 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 является совершенным числом и самым маленьким членом семейства совершенных чисел. 28 имеет пять делителей: 1, 2, 4, 7 и 14, и 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Все известные совершенные числа являются чётными, и даже не существует нечётных совершенных чисел. Однако до сих пор не удалось доказать, что нечётных совершенных чисел не существует, и эта проблема остаётся одной из нерешённых задач в теории чисел.
Ещё в 500-х годах до нашей эры Пифагор столкнулся с совершенными числами. Затем Евклид в девятой книге "Начал" рассмотрел совершенные числа и заметил, что если 2^n - 1 является простым числом, то 2^{n-1}(2^n - 1) является совершенным числом. В 17 веке французский монах Марон проделал большую работу по вычислению 2^n - 1 и сделал несколько утверждений (некоторые из которых были ошибочными). В память о его заслугах позже появилось название "Меронские числа", и они записываются как Mn.
Легко доказать, что если Меронское число 2^n - 1 является простым, то n должно быть простым. И наоборот, если n является простым, то Меронское число, похоже, тоже является простым, например: M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127. Однако неожиданно, когда появилось следующее M11 = 2^11 - 1 = 2047 = 23×89, это правило перестало работать! Из-за многих необычных свойств и интересных фактов, связанных с Меронскими числами, они на протяжении веков привлекали многих математиков. Однако до 18 века было обнаружено всего восемь Меронских чисел: M2, M3, M5, M7, M13, M17, M19 и M31. Последнее, M31, было доказано математиком Эйлером вслепую с помощью мысленных вычислений, что на тот момент было крупнейшим известным простым числом в мире. Эйлер также доказал обратное теорему о совершенных числах Евклида, а именно, что каждое чётное совершенное число имеет вид 2^{n-1}(2^n - 1), где 2^n - 1 является простым. Таким образом, чётные совершенные числа стали "побочным продуктом" Меронских чисел. В течение следующих 100 лет было обнаружено всего четыре новых Меронских числа — M61, M89, M107 и M127. В 1976 году математик Лукас представил важную теорему о том, является ли Mp простым, и это дало мощный инструмент для поиска Меронских чисел. В "эпоху ручек и бумаги" люди с большим трудом нашли всего 12 Меронских чисел.
Появление электронных компьютеров значительно ускорило поиск Меронских чисел. В 1952 году математики Рубинсон и др. перевели улучшенный Лукасовский метод, разработанный американским математиком Леммом в 1930 году, в компьютерную программу и с помощью компьютера SWAC нашли пять новых Меронских чисел: M521, M607, M1279, M2203 и M2281. В 1963 году, когда 23-е Меронское число M11213 было найдено с помощью крупных компьютеров, американское радио прервало обычную трансляцию, чтобы первыми сообщить эту важную новость. Все преподаватели и студенты математического факультета Иллинойского университета, обнаружившие это число, были безмерно горды, и чтобы все могли разделить эту радость, они поставили печать "2^11213 - 1 iЭто почтовая марка с надписью "prime" (2^11213 - 1 является простым числом). Особенно стоит отметить, что двое начинающих американских школьников Ноэль и Николай после 3 лет работы над программой, которую они написали, обнаружили 25-е простое число Мерсенна M21701 на компьютере Cyber174 в октябре 1978 года. В то время мировые новостные агентства (включая китайское агентство Синьхуа) и научные журналы активно освещали эту новость, а газета The New York Times даже сделала это заголовком на первой странице.
Появление новой технологии грида значительно ускорило поиск простых чисел Мерсенна. В начале 1996 года американский математик и программист Вотман разработал программу для вычисления простых чисел Мерсенна и разместил её на веб-сайте, доступной для бесплатного использования математиками и любителями математики. Этот проект, получивший название "GIMPS" (Internet Greatest Prime Search), привлёк внимание мировых СМИ (включая китайское агентство Синьхуа) и научных журналов, а газета The New York Times даже сделала это заголовком на первой странице.
Использование грида значительно увеличило возможности поиска простых чисел Мерсенна. В начале 1996 года американский математик и программист Вотман разработал программу для вычисления простых чисел Мерсенна и разместил её на веб-сайте, доступной для бесплатного использования математиками и любителями математики. Этот проект, получивший название "GIMPS" (Internet Greatest Prime Search), привлёк внимание мировых СМИ (включая китайское агентство Синьхуа) и научных журналов, а газета The New York Times даже сделала это заголовком на первой странице.
Появление новой технологии грида значительно ускорило поиск простых чисел Мерсенна. В начале 1996 года американский математик и программист Вотман разработал программу для вычисления простых чисел Мерсенна и разместил её на веб-сайте, доступной для бесплатного использования математиками и любителями математики. Этот проект, получивший название "GIMPS" (Internet Greatest Prime Search), привлёк внимание мировых СМИ (включая китайское агентство Синьхуа) и научных журналов, а газета The New York Times даже сделала это заголовком на первой странице.
Почему люди так увлечены поиском простых чисел Мерсенна? С древних греков до 17 века цель поиска простых чисел Мерсенна, похоже, заключалась в том, чтобы найти совершенные числа. Но после того, как Мерсен выдвинул своё знаменитое утверждение, особенно после того, как Эйлер доказал обратную теорему теоремы Евклида о совершенных числах, совершенные числа стали лишь "побочным продуктом" простых чисел Мерсенна. Поиск простых чисел Мерсенна является самым эффективным способом обнаружения самых больших известных простых чисел. После того, как Эйлер доказал, что M31 было самым большим известным простым числом на тот момент, в мировом соревновании по обнаружению самых больших известных простых чисел простые числа Мерсенна почти полностью завоевали все чемпионские титулы. Поиск простых чисел Мерсенна также является мощным средством тестирования вычислительной скорости и других функций компьютеров. Например, в сентябре 1996 года простое число M1257787 было обнаружено на суперкомпьютере Cray при тестировании его скорости. Обнаружение простых чисел Мерсенна требует не только высокопроизводительных компьютеров, но также теории и методов проверки простоты и вычисления значений, а также гениальных и изощрённых программных решений, что способствует развитию "царицы математики" — теории чисел, а также вычислительной математики и программирования.
Простые числа Мерсенна также находят применение в практических областях. В настоящее время они используются для проектирования современных криптографических систем, основанных на том, что разложение больших чисел на простые множители очень сложно, но умножение нескольких простых чисел гораздо проще. В таких системах криптографии необходимо использовать большие простые числа, поскольку чем больше простое число, тем меньше вероятность взлома шифра.