В XVII веке французский математик Ферма, изучая работу древнегреческого математика Диофанта "Арифметика", обнаружил в ней задачу о числах Пифагора: "Данное квадратное число, как его можно представить в виде суммы двух квадратных чисел?" Тогда он написал на полях книги: "…вообще, любое целое число, возведённое в степень больше 2, нельзя представить в виде суммы двух чисел, возведённых в одинаковую степень. Я нашёл поистине удивительное доказательство, но на полях не хватает места". Если выразить это на современной математической нотации, Ферма сказал, что для любого целого числа x^n + y^n = z^n (n > 2) (1) не существует решения в виде положительных целых чисел. Это и есть знаменитая "великая теорема Ферма", также известная как "последняя теорема Ферма".
Сейчас считается, что Ферма не доказал свою "великую теорему", потому что это было слишком сложно. Математик XVIII века Эйлер дал доказательство только для n = 3. Математик XIX века Гаусс тоже изучал её, но не смог добиться результата. А когда великому математику XX века Гельберту предложили решить великую теорему Ферма, он сказал, что не хочет "убивать курицу, несущую золотые яйца". Под "золотыми яйцами" Гельберт подразумевал гениальные математические концепции и теории, разработанные для доказательства великой теоремы Ферма. Прежде всего это было расширение понятия "целое число". Математики обнаружили, что n-е корни единицы (то есть ω^n = 1) можно считать "целыми числами", и тогда (1) можно разложить в виде z^n = x^n + y^n = (x + y)(x + yω)(x + yω^2)…(x + yω^(n-1)), что позволило провести более глубокий анализ. Мы знаем, что любое целое число больше 1 можно уникально разложить в произведение простых чисел, например 6 = 2 × 3, 20 = 2^2 × 5 и т. д. Если расширенное понятие "целое число" сохраняло бы эту уникальность разложения, то великая теорема Ферма уже была бы решена. К сожалению, это не так. Например, число 6 в расширенном понятии "целое число" имеет два разложения: 6 = 2 × 3 и 6. Таким образом, немецкий математик Куммер в XIX веке изобрёл новое понятие "идеальное число". На его основе он сразу доказал великую теорему Ферма для n ≤ 100 (за некоторыми исключениями). Куммер тем самым положил начало важной области современной математики – алгебраической теории чисел.
В 1994 году британский математик Уайлс после восьми лет затворнической работы наконец полностью доказал великую теорему Ферма, и эта мучившая математиков более 350 лет проблема была решена. Ключ к доказательству Уайлса заключался в том, что он успешно применил "представление Галуа групп" для установления соответствия между "эллиптическими кривыми" и "модульными формами", тем самым выявив глубокие связи между различными областями современной математики. Это было "последнее золотое яйцо", которое "вылупилось" из великой теоремы Ферма.