Около 6-го века до нашей эры греческий математик Пифагор проходил мимо кузницы и услышал приятный звук, издаваемый ударами молотка по железу. Он зашел в кузницу, чтобы проанализировать звук, и обнаружил, что молотки, издающие гармоничный звук, имеют простую математическую связь — их масса находится в простом соотношении друг с другом. В частности, молотки, вес которых равен половине, трети или четверти веса другого молотка, издают гармоничный звук. С другой стороны, молоток, который всегда издает неприятный звук при ударе по железу, не имеет такого простого целочисленного соотношения с другими молотками. Пифагор повторил этот эксперимент на струнах и пришел к такому же выводу: когда длина двух струн находится в простом целочисленном соотношении, они издают более приятный звук. Оказалось, что гармония звуков зависит от соотношения целых чисел! Это открытие вдохновило Пифагора, и впоследствии он применил принцип целочисленных соотношений к движению планет. На основе этих открытий Пифагор заявил, что "всё есть число", то есть весь мир можно объяснить с помощью целых чисел или их соотношений. Это стало основополагающим принципом Пифагорейской школы, члены которой считали, что любые две отрезки можно соотнести друг с другом. Здесь следует объяснить этот незнакомый термин. Пусть две отрезка имеют длины a и b. Если можно найти маленький отрезок d, так что a можно разделить на n его частей (a = nd), а b — на m его частей (b = md), то эти отрезка называются соизмеримыми (d является общим единицей измерения для a и b). Фактически, на нашем языке это означает, что отношение длин двух отрезков является целым числом или дробью.
Этот вполне соответствующий здравому смыслу и интуиции вывод казался несомненным и был широко принят древними греками. Перелом произошел после того, как Пифагор доказал теорему о прямоугольных треугольниках. Один из учеников Пифагора, Гиппократ, изучая знаменитое достижение своего учителя, задался вопросом: а соизмеримы ли стороны квадрата? После тщательных размышлений Гиппократ неожиданно обнаружил, что стороны квадрата не имеют общей единицы измерения: какой бы маленькой ни была единица измерения, она не может быть общей единицей измерения сторон квадрата и его диагоналей. Иными словами, стороны квадрата и его диагонали не соизмеримы! Или, иначе говоря, отношение диагоналей к сторонам квадрата (которое мы знаем как ) не является ни целым числом, ни дробью, а представляет собой совершенно новое число, неизвестное в то время. Это открытие стало фатальным для Пифагора и его школы, полностью опровергнув их математические и философские догмы. По преданию, Гиппократ был утоплен после того, как разгласил свое открытие последователям Пифагора.
После Гиппократа было обнаружено много чисел, подобных . Позже такие числа стали называть "иррациональными", в отличие от рациональных чисел (целых или их соотношений), которые были приняты древними греками. Термины "рациональные" и "иррациональные" в Древней Греции первоначально означали "соизмеримые" и "несоизмеримые". Позже, при переводе, кроме значения "соизмеримые", они приобрели также значение "разумные" и "неразумные". Позже в Китае при переводе они были переведены как "рациональные числа" и "иррациональные числа", и большинство людей уже не знают, что они изначально означали "соизмеримые" и "несоизмеримые".