Как известно, точки, представляющие положительные целые числа на числовой оси, расположены на ней с равными интервалами, а между любыми двумя рациональными числами всегда можно найти ещё одно рациональное число, например, их среднее. Это, казалось бы, говорит о том, что рациональных чисел гораздо больше, чем положительных целых. Однако на самом деле количество рациональных чисел точно такое же, как и количество положительных целых. Другими словами, все рациональные числа можно сопоставить с положительными целыми в точности один к одному.
Этот факт был открыт Кантором в 1873 году. Сначала он рассмотрел все положительные рациональные числа. В соответствии с приведённым ниже расположением, все положительные рациональные числа можно сопоставить с положительными целыми. Очевидно, что каждое положительное рациональное число встречается в этом массиве. Если переупорядочить его в соответствии со стрелками и удалить уже встречавшиеся числа, то получим бесконечную последовательность всех положительных рациональных чисел. Таким образом, все рациональные числа образуют бесконечную последовательность. Таким образом, установлено соответствие один к одному между множеством рациональных чисел и множеством положительных целых, поэтому количество рациональных чисел точно такое же, как и количество положительных целых.