Как известно, числа в форме a + b i называются комплексными числами, где a и b — действительные числа, а i представляет собой число, которое сильно отличается от привычных нам действительных чисел, и, похоже, в реальном мире мы не встречаем таких чисел. Почему же нам приходится вводить такие числа? Учебники по математике для средней школы уже говорят нам, что при решении квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 если ∆ = b 2 - 4ac < 0, то уравнение имеет пару комплексных корней. Действительно, введение комплексных чисел позволило получить корни при ∆ < 0, но в этом случае отсутствие корней в действительном диапазоне может быть более соответствующим действительности, и искусственное введение невидимых и неосязаемых комплексных корней, похоже, не является необходимым.
Исторически, комплексные числа были введены итальянским математиком Кардано в XVI веке. Основной целью введения комплексных чисел было решение алгебраических уравнений третьей степени. Для этого рассмотрим пример, в котором рассматривается уравнение x 3 - 7x + 6 = 0. Легко проверить, что у этого уравнения есть три действительных корня: x = 1, x = 2 и x = -3. Поскольку уравнение третьей степени имеет максимум три различных корня, эти три корня и являются всеми корнями уравнения. Кардано уже знал формулу для нахождения корней уравнения x 3 + px + q = 0, где теперь, применяя эту формулу к уравнению x(^3) - 7x + 6 = 0, где p = -7, q = 6, в вышеуказанной формуле необходимо обработать такие числа, чтобы в конечном итоге получить три действительных корня. Кардано заметил, что при ∆ < 0 для нахождения корней уравнения третьей степени (даже действительных корней) невозможно избежать операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа, и приходится иметь дело с новыми числами, возникающими при извлечении квадратного корня из отрицательного числа, такими как вышеуказанные. Кардано ввел в математику новый класс чисел, которые сегодня мы называем комплексными числами. Тогда люди писали их в единой форме, где a и b были действительными числами. Позже Эйлер предложил использовать i, и так появилось сегодняшнее представление комплексных чисел: a + b i.
После введения комплексных чисел в математику они не только "остались и не ушли", но и стали широко использоваться. Комплексные числа применяются не только для решения уравнений третьей или четвертой степени, но и для вычислений тригонометрических функций. Хорошим примером является знаменитая формула Дезарга. Принимая n = 2 и n = 3, мы получаем формулы для удвоенных и тройных тригонометрических функций, а также формулы для n-кратных тригонометрических функций. Есть много проблем в области действительных чисел, которые можно решить просто или изящно с помощью комплексных чисел. В связи с этим у французского математика Адама есть очень уместное замечание: кратчайший путь между двумя истинами в области действительных чисел проходит через область комплексных чисел.