5-балльное и 8-балльное землетрясения, на первый взгляд, отличаются всего на три уровня, и, казалось бы, разница в их разрушительной силе не должна быть слишком велика. Однако на самом деле 5-балльное землетрясение приводит лишь к незначительным повреждениям зданий, тогда как 8-балльное землетрясение часто вызывает разрушительные последствия, как это было во время землетрясения в китайском городе Вэньчуань 12 мая 2008 года. Почему увеличение небольшого числа (от 5 до 8) означает огромное увеличение разрушительной силы? Причина в том, что шкала Рихтера для измерения силы землетрясений использует "логарифмическую" шкалу. В этой шкале сила землетрясения (или выделяемая им энергия) увеличивается более чем в 30 раз при каждом повышении уровня. Таким образом, разрушительная сила 8-балльного землетрясения не в три раза больше, чем у 5-балльного, а более чем в 27 000 раз (30^3)! Мы часто сталкиваемся с такой "логарифмической" шкалой в повседневной жизни.
Для оценки яркости звезд астрономы делят ночное небо на звезды первой, второй... шестой величины. Это различие делается невооруженным глазом, но на самом деле яркость звезд первой величины отличается от яркости звезд второй величины в геометрической прогрессии. Точнее, яркость каждого уровня примерно в 2,512 раза больше, чем у следующего уровня. Таким образом, яркость звезды первой величины примерно в 100 раз (2,512^5) больше, чем у звезды шестой величины.
Аналогичным образом, логарифмическая шкала используется для измерения громкости звуков. Для точного и удобного измерения громкости звуков была введена единица "децибел" (1 децибел = 10 логарифмических единиц). Например, тихий шепот имеет громкость 20 децибел, нормальный разговор – 60 децибел, а громкий гром или рок-музыка – 120 децибел... Каждое увеличение на 10 децибел (1 децибел) увеличивает громкость звука в 10 раз. Таким образом, громкость звука 120 децибел в 100 раз (10^6) больше, чем у звука 60 децибел.
Таким образом, такие, казалось бы, не связанные с логарифмами вещи, как землетрясения, звезды и звуки, оказываются тесно связаны с ними. Так почему же была введена "логарифмическая" шкала? Главным образом потому, что некоторые объекты, с которыми мы работаем, часто имеют очень большой диапазон изменений. Например, диапазон звукового давления, воспринимаемого человеческим ухом, может варьироваться от самых слабых 20 микропаскалей до 2×10^9 микропаскалей. Если выразить громкость звука в единицах микропаскалей, придется иметь дело с числами от 20 до 2000000000. Однако после введения логарифмически определенных децибел для выражения одной и той же громкости звука придется иметь дело только с простыми числами от 0 до 140. Очевидно, что "логарифмическая" шкала очень хорошо подходит для обработки больших диапазонов изменений. Кроме того, использование "логарифмической" шкалы в некоторых случаях идеально соответствует нашему "логарифмическому" восприятию. Под "логарифмическим восприятием" понимается то, что когда физический стимул изменяется в геометрической прогрессии, наше восприятие этого стимула изменяется в арифметической прогрессии. Проще говоря, интенсивность ощущения у человека пропорциональна логарифму стимула. Этот вывод известен в психологии как "закон Фехнера". Он показывает, что логарифмы встречаются не только в природе, но и тесно связаны с нами самими.