Почему а ^ 0 = 1
В математике часто встречается умножение нескольких одинаковых чисел, и для этого была введена операция умножения и обозначается символом an, например, 7 ^ 5 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7. n в an называется экспонентом, который относится к количеству раз умножения того же числа.Что равно a ^ 0 (a ≠ 0) в соответствии с определением умножения?Если мы понимаем эту формулу как результат умножения а на себя 0, то каков будет этот результат?Неудивительно, что мы не можем точно определить ответ, поскольку в определении умножения экспоненты являются положительными целыми числами.Таким образом, когда мы расширяем показатели от положительного целого числа до 0, мы не можем применить первоначальное определение.Но удивительно, что с помощью первоначального определения умножения можно получить соответствующий результат для a ^ 0.Давайте вернемся к положительному целому числу, чтобы посмотреть на операционные свойства умноженного числа.
Начиная с простого примера: 7 ^ 5 × 7 ^ 3 = (7 × 7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7) = 7 ^ 8.Для этого существует более простный алгоритм: 7 ^ 5 × 7 ^ 3 = 7 ^ (5 + 3) = 7 ^ 8.В общем, у нас есть a ^ m · a ^ n = a ^ (m + n).Точно так же, поскольку 0 не может быть делителем, мы также требуем a≠ 0.Из алгоритма умножения мы видим, как вычислить a ^ 0.На самом деле, принимая тот же экспоненс, мы получаем: a ^ m ÷ a ^ m = 1, следовательно, мы получаем a ^ 0 = 1 (a≠0).
На основе вышеизложенного определения мы можем также распространить экспоненциальные значения на отрицательные целые числа.Так как a ^ (-n) · a ^ n = a ^ 0 = 1, то есть a ^ (-n) = 1 / a ^ n.Далее, можно распространить индекс в умноженном квадрате на дробный индекс.Это требует лишь признания предпосылки, что алгоритм умножения остается действительным, когда экспоненция является дробной величинойТаким образом, есть a ^ (1 / 2), и эта формула означает, что два a ^ (1 / 2) умножаются на а, т. е. на квадрате равняются а, да, √а.Аналогичным образом можно дать определение, когда индекс представляет собой общий процент.Если изучить пределы, то можно также распространить экспоненцию на любое реальное число.Вместе с тем индексы дробных и иррациональных чисел, как правило, имеют больше ограничений для а.