В школьных учебниках, помимо обычной логарифмической функции lg x, существует также натуральный логарифм ln x, который представляет собой логарифм с основанием e, где e = 2,718281828… Почему логарифм с основанием e называют натуральным? В современных учебниках логарифмическая функция определяется как обратная функция экспоненциальной функции, но в истории дела обстояли иначе. Логарифм был впервые предложен шотландским математиком Джоном Непером в 1614 году. Логарифмы, изобретённые Непером, позволили преобразовать умножение двух чисел в сложение, значительно упростив сложные вычисления, с которыми сталкивались в то время астрономы, мореплаватели и другие учёные. Функция, удовлетворяющая следующим свойствам, называется логарифмической функцией: y = f (x) (x > 0); f (x1x2) = f (x1) + f (x2); f (1) = 0.
В процессе поиска логарифмической функции люди обнаружили следующий факт: для любого положительного постоянного числа c и рассмотрения гиперболы y = c/x в первом квадранте. Пусть s будет любым положительным числом, а площадь заштрихованной области обозначим как Lc (s). Мы соглашаемся, что когда s = 1, эта площадь равна 0; когда s > 1, её площадь положительна; а когда s < 1, её площадь отрицательна. При таком соглашении функция Lc (s) является логарифмической функцией.
Теперь обозначим логарифмическую функцию для c = 1 как y = L (s). В то время эта функция L (s) называлась натуральным логарифмом, потому что она была самой простой логарифмической функцией среди логарифмических функций Lc (s). Для удобства вычислений её можно использовать для представления других логарифмических функций. Фактически, уже через два года после того, как Непер представил логарифмы, кто-то использовал их для составления таблиц логарифмов, которые были приложены к книге Непера. Но в то время люди не знали, что такое число e, и понятия "основание логарифмической функции" не существовало.
В XVIII веке Эйлер связал логарифмическую функцию с экспоненциальной функцией, рассматривая логарифмическую функцию как обратную функцию экспоненциальной функции, и тогда появилось понятие основания логарифмической функции. Эйлер также обнаружил, что число, называемое основанием натурального логарифма, как раз и является числом e.