Натуральный логарифм с основанием e = 2,718281828… является важной константой в математике. Зачем вводить эту константу? Какие у неё важные применения? Давайте разберёмся подробнее.
Рассмотрим сначала идеальную ситуацию с начислением процентов на сумму вклада: предположим, что в банке годовая процентная ставка составляет 1%. Клиент вносит 1 юань в начале года, и к концу года общая сумма с процентами будет равна 1 + 1 = 2 юаням. Если банк предлагает более короткие сроки вклада с той же процентной ставкой, рассчитанной пропорционально сроку вклада в течение года, например, полугодовой срок — 1/2, трёхмесячный — 1/4, месячный — 1/12 и так далее. Теперь у клиента появилась лучшая стратегия вложения денег: если внести 1 юань на полгода и сразу же продлить вклад с процентами по истечении этого срока, то к концу года общая сумма с процентами будет равна . Если срок вклада составляет три месяца и проценты сразу же продлеваются по истечении этого срока, то к концу года общая сумма с процентами будет равна . Если срок вклада составляет один месяц, то к концу года общая сумма с процентами должна быть равна . Отсюда видно, что чем короче срок вклада, тем больше будет общая сумма с процентами по итогам года при вышеуказанном начислении процентов. Представьте себе, что банк разрешает вкладывать деньги на любой короткий срок, например, на 1 день, 1 час или 1 минуту, или даже на ещё более короткие сроки. Тогда сумма с процентами через год после внесения 1 юаня может быть очень большой. Становятся ли вкладчики в этом случае богачами?
В 1697 году швейцарский математик Якоб Бернулли рассмотрел эту проблему. Если разделить год на n равных частей и начислять проценты на сумму вклада в течение этого года, то сумма с процентами через год будет равна . Якоб Бернулли доказал, что когда n стремится к бесконечности, эта сумма с процентами будет увеличиваться, но не бесконечно, а будет всё больше приближаться к фиксированному значению, находящемуся между 2 и 3. Теперь известно, что это значение равно 2,718281828… В терминах математического предела это означает, что когда n стремится к бесконечности, существует предел последовательности. Это говорит о том, что независимо от того, как клиент сокращает срок вклада, общая сумма с процентами не будет превышать предела этой последовательности, равного 2,718281828… Если начислять проценты каждый момент времени, то общая сумма с процентами будет равна этому пределу.
Позже швейцарский математик Леонард Эйлер, изучая функции экспонента и логарифма, снова столкнулся с этим пределом и назвал его e. Он также доказал, что e является иррациональным числом. Что ещё более важно, Эйлер доказал, что для любого действительного числа x, когда n стремится к бесконечности, предел последовательности равен e^x, то есть экспоненциальной функции с основанием e. Это как раз является обобщением примера с начислением процентов: основная сумма по-прежнему равна 1, но годовая процентная ставка теперь равна x. При таких условиях, если начислять проценты каждый момент времени, то к концу года общая сумма с процентами будет равна e^x. Однако здесь "процентная ставка" x может быть как положительной, так и отрицательной, и представлять собой любое ненулевое действительное число.
Вышеупомянутый банк, конечно, является вымышленной математической моделью, но в реальной жизни существует множество явлений, соответствующих этой модели. Когда величина увеличивается (или уменьшается) с постоянной скоростью (или в соответствии с определённым законом), то это увеличение (или уменьшение) соответствует экспоненциальному росту (или убытию). Например, масса радиоактивного вещества уменьшается с течением времени, интенсивность звуковых или световых волн уменьшается с расстоянием, зависимость реакции человека от различных раздражителей и интенсивность этих раздражителей и так далее. Выводы Мальтуса о показательном росте населения также основаны на этой математической модели.
Эйлер также доказал, что мгновенная скорость изменения функции e^x (то есть её производная) равна самой функции. Например, если движущийся объект в момент t имеет скорость e^t, то в момент t его ускорение также будет равно e^t. Эта уникальная особенность функции e^x играет особую роль в дифференциальном исчислении и решении дифференциальных уравнений, а также в различных теоретических выводах и инженерных расчётах.В математических вычислениях постоянно встречаются число e и выражение e^x.
По мере развития технологий и математики число e находит все более широкое применение. Оно используется во многих областях математики. Одной из главных причин этого является уникальная особенность экспоненциальной функции с основанием e.