1883 年，德國數學家康托爾向人們展示了這個非常奇特的集合。考虑由 0 到 1 之間所有実數組成的區間 0, 1，把它平分成三段，並去掉中間那一段開區間 (1/3, 2/3)。這樣，剩下的集合就是兩個剩余區間的并集，即 0, 1/3 ∪ 2/3, 1。接下来，把每個區間再分成三段並去掉中間那一段開區間，從而得到了由四個更小的剩余區間組成的集合，继续在每個區間中去掉中間三分之一，無限地這樣做下去，最後剩下的數組成的集合就叫做康托爾集。 不難看出，每次去掉各區間的中間那一段之後，所有剩余區間的总長度都會變成原來的 2/3。由于初始時區間的总長度為 1，第 n 次操作之後所有剩余區間的总長度就只剩下 (2/3)^n。当 n 趋于無穷大時，(2/3)^n 將趋于 0，可見康托爾集的“总長度”為 0。 然而，这只能表明康托爾集不含任何區間，而不能說康托爾集不含任何數。在生成康托爾集的過程中，由于每次去掉的是一個開區間，各剩余區間的端點都不会被去掉，因此像 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 之类的數最終都會保存在康托爾集里。事實上，由于所有形如 (1/3)^n 的分数都會保存在康托爾集里，因此康托爾集里的數有無限多個！更有趣的是，康托爾集還包含了許多 “端點值” 以外的數。
儘管康托爾集里的數有無限多個，但直觀上似乎應該比 0, 1 區間里的実數少得多。然而令人惊讶的是，这是不正确的，实际上康托爾集里的數和 0, 1 區間里的実數一樣多！它比看起來遍布 0, 1 區間的有理數要多得多！ 為了說明這一點，我們把 0 到 1 之間所有數都用三進制小數來表示。如果把這些數平均分成三段，那么他們正好分别是 0 到 0.1 之間的數，0.1 到 0.2 之間的數，以及 0.2 到 1 之間的數。去掉的中间那一段的數正好是小數點后第一位是 1 的那些數，而剩下的數都是那些小數點后第一位是 0 或 2 的數。在下一步中，我们將去掉每個區間的中间1/3，也就是所有小數点后第二位是 1 的數，剩下的數便都是那些小數点后第二位也是 0 或 2 的數……不断這樣操作下去，最終留在康托爾集里的數，恰好就是那些只由 0 和 2 組成的三進制小數！比如 1/4 的三進制小數表示是 0.020202…，可見 1/4 確實属于康托爾集。另外，虽然 1/3 的三進制小數是 0.1，1/9 的三進制小數是 0.01，但我們也可以把他們分別改寫成無限循环小數 0.02222…和 0.002222…（這個道理和 0.999…=1 一樣），因此他們也在康托爾集里。 接下来，我们就能轻易地把康托爾集里的數和 0, 1 區間里的所有実數一一对应。对于康托爾集里的任意一個數，首先把它轉換成三進制小數，把小數展开中的所有数字 2 改成数字 1，再把新的三進制小數看作是二進制小數，並重新轉換回十進制，它就是 0, 1 之间的某個実數。同样地，对于 0, 1 區間的每個実數，先把它写成二進制小數，再把所有的 1 都改写成 2，并把它看作是一个三进制小数就成了康托集合中的一个数。因此，康托集合中的数和整个 0, 1 区间中的实数之间存在一一对应的关系，两个集合中的数数量相同！
康托集合的“总长度”为 0，但其中包含的元素数量却和实数区间一样多，这些奇特的性质很快引起了数学家的注意。在集合论、拓扑学、测度论、实分析、分形理论等各个数学分支中，康托集合都扮演着重要的角色。