整數和無理數共同構成了実數。在發現有理數的數量可以和它所包含的正整數一樣多之後，康托爾自然而然地想到了這個問題：実數的數量是否可以和它所包含的有理數一樣多呢？經過深入研究，康托爾得出了否定的結論。為了說明康托爾的結論，我們先注意一個事實：從点A發出的射線，使得半圆周上的點和実數軸上的點一一对应，而垂線又使得（0，1）區間上的點和半圆周上的點一一对应，因此可以断定（0，1）區間上的実數和所有実數一樣多。
現在，康托爾只需证明，（0，1）區間上的実數不像有理數一樣可以排成一個無限序列。為此，他用反證法給出了一个非常巧妙的证明：假設（0，1）區間上的実數可以排成一列，設為x₁，x₂，x₃，…。我们知道（0，1）區間上的每一个実數都可以唯一地表示為無限小數，可以將每個xᵢ表示為xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃…（i=1，2，…）。
現在構造一個新數x=0.b₁b₂b₃…，使得b₁≠a₁₁，b₂≠a₂₂，b₃≠a₃₃，…，以此類推。這樣構造出的數x當然是（0，1）區間中的一个実數，但它不可能是上面的數列x₁，x₂，x₃，…中的任何一個數。
這表明，无论如何排列（0，1）區間中的実數，总會有至少一個數不能排到這個序列中去。因此，雖然（0，1）區間上的実數和有理數一樣都有無限多，但它的那种無限（即所有実數的那種無限），比所有有理數的那種無限還要大。由于実數去掉有理數後剩下的就是無理數，显然無理數的集合也不可能排成一個序列（因為兩個序列總是可以合成一個序列的），这表明無理數比有理數還多。