En todas las series numéricas, la serie de Fibonacci es sin duda la más famosa. En 1202, Leonardo de Pisa, un matemático nacido en Pisa, Italia, completó su obra maestra «El Libro del Abacus», en la que estudió un interesante «problema de reproducción de conejos», del que surgió la serie de Fibonacci.
El problema de la reproducción de conejos es, en realidad, un modelo matemático propuesto por Fibonacci: supongamos que una pareja de conejos grandes produce una pareja de conejos pequeños al año, y que todos los conejos viven para siempre. Entonces, ¿cuál es la ley de reproducción de estos conejos?
En el primer año, solo hay una pareja de conejos pequeños. En el segundo año, los conejos pequeños se convierten en una pareja de conejos grandes, y el número de parejas de conejos sigue siendo 1. En el tercer año, los conejos grandes producen una pareja de conejos pequeños, y el número de parejas de conejos se convierte en 2. En el cuarto año, los conejos pequeños producen otra pareja de conejos pequeños, y la pareja original de conejos grandes se convierte en una pareja de conejos grandes, y el número de parejas de conejos se convierte en 3.
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Resumiendo la ley de reproducción de conejos, podemos encontrar que: el número de parejas de conejos en un año = el número de parejas de conejos del año anterior + el número de parejas de conejos nuevas ese año = el número de parejas de conejos del año anterior + el número de parejas de conejos grandes del año anterior = el número de parejas de conejos del año anterior + el número de parejas de conejos pequeños del año anterior.
Es decir, si registramos el número de parejas de conejos en el año n como Fn, entonces F1 = F2 = 1, y para n≥3, Fn = F(n-1) + F(n-2), por lo que obtenemos la siguiente serie: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, … donde, a partir del tercer término, cada término es igual a la suma de los dos términos anteriores. Debido a que esta serie fue estudiada por primera vez por Fibonacci, los matemáticos la han llamado la serie de Fibonacci.
La serie de Fibonacci es una serie muy interesante, útil y famosa, que tiene muchas propiedades maravillosas, y los matemáticos aún no han dejado de estudiarla. A continuación, presentaremos brevemente algunas de ellas.
Con los seis primeros términos de la serie de Fibonacci, 1, 1, 2, 3, 5, 8, como lados de seis cuadrados, se puede formar un rectángulo con lados de 8 y 13. En general, n cuadrados con lados de Fn y F(n+1) se pueden usar para formar un rectángulo con lados de Fn y F(n+1). De hecho, se puede demostrar mediante inducción matemática la siguiente propiedad:
La serie de Fibonacci también tiene una fórmula general: donde φ es la famosa sección áurea.
¿No es sorprendente que una serie numérica completamente formada por números naturales tenga su fórmula general expresada por el número irracional φ. Ya en la mitad del siglo XVIII, los famosos matemáticos d’Alembert y Euler ya conocían esta fórmula. A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet la redescubrió.
Además, se puede observar que, a medida que n aumenta, la relación entre dos términos consecutivos de la serie de Fibonacci, F(n+1) / Fn, se acerca cada vez más a la sección áurea φ.
Además de muchas propiedades matemáticas interesantes, los científicos también han notado que ciertas cantidades en el mundo vegetal también siguen la serie de Fibonacci, como el número de ramas en una rama, el número de pétalos en una flor, la distribución de granos de fruta y la disposición de las estrías en la corteza de una fruta. En la hermosa flor de girasol, hay una espiral a la izquierda y otra a la derecha en el centro de la flor, si hay 13 espirales a la derecha, habrá 21 a la izquierda, y el total será 34. Las escamas de una piña también están dispuestas en espiral, con cinco columnas a la derecha o a la izquierda, y ocho columnas en la dirección opuesta, y ocho o 13 columnas en la dirección opuesta para las piñas más alargadas. Además, el número de pétalos de muchas flores es 3, 5, 8, 13, 21, etc. Si te interesa, puedes contar las pétalas de algunas flores.
Las hojas de las plantas se disponen en espiral ascendente. En 1611, el astrónomo alemán Kepler descubrió que, si se colocan las hojas situadas alrededor de una rama o un tallo, la suma de los ángulos interiores de cada hoja es de 360°.Los dos hojas más cercanas en la misma dirección se consideran, respectivamente, el inicio y el final de un ciclo, en el que pueden haber muchas hojas, que pueden girar varias veces a lo largo de la rama o el tallo. Si anotamos el número total de hojas en un ciclo como m, y el número de giros de hojas en un ciclo como n, tanto m como n están relacionados con la secuencia de Fibonacci. Por ejemplo, para el olmo, n = 1, m = 2; para el haya, n = 1, m = 3; para el cerezo y el roble, n = 2, m = 5 (es decir, hay 5 hojas en cada ciclo y se completa un ciclo después de 2 giros); para el peral, n = 3, m = 8; y para el sauce, n = 5, m = 13. Todos estos números pertenecen a la secuencia de Fibonacci, ¡qué increíble!
Hay muchas historias más sobre la secuencia de Fibonacci, especialmente su estrecha relación con la proporción áurea.