¿A × B debe ser igual a B × A?
En la práctica de la producción social y la investigación científica, a menudo hay que tratar con algunos datos relacionados, como datos experimentales, datos estadísticos y datos financieros. Con el fin de mostrar claramente estos datos, generalmente las personas hacen una tabla, que puede abstraerse en forma de matriz: n × m números en una matriz rectangular de n filas y columnas, llamada matriz n × m, encerrada entre paréntesis, cada número es un elemento de la matriz, por ejemplo, el volumen de ventas de cada tienda de una cadena comercial puede corresponder a la matriz 2 × 3.
A mediados del siglo XIX, el matemático británico Cayley Systems estableció la teoría de las matrices, que especificaba las operaciones aritméticas de las matrices. La adición de matrices es más simple, dos matrices con el mismo número de filas y columnas y la matriz resultante de la adición de elementos de posición correspondientes. Las reglas de multiplicación de matrices son diferentes: cuando se multiplican dos matrices, se requiere que el número de columnas de la matriz anterior sea igual al número de filas de la matriz posterior, y los elementos de la fila i y la columna j del producto son iguales al número obtenido multiplicando los elementos de posición correspondientes de la fila i de la matriz anterior y la columna j de la matriz posterior y sumando.
Algunos principiantes de matrices no entienden bien la multiplicación de matrices. ¿Por qué su estipulación es tan extraña, en lugar de la multiplicación de elementos de posición como la adición? De hecho, esta definición de multiplicación de matrices es más adecuada para las necesidades prácticas. Tomando los datos de las empresas comerciales anteriores como ejemplo, el volumen de negocios y el cálculo de ganancias de múltiples tiendas y múltiples productos básicos pueden corresponder a la relación entre las tablas a través de la multiplicación de la matriz, que es la necesidad del cálculo práctico; lo que es más importante es la necesidad de la transformación lineal en matemáticas, después de sustituir la relación entre las variables, la matriz de coeficientes satisface la relación de multiplicación, lo que muestra que esta definición es muy natural.
La multiplicación de matrices tiene una propiedad extraña. Es bien sabido que cuando dos números a se multiplican por b, siempre hay a × b = b × a, es decir, la ley de la multiplicación y el intercambio. Sin embargo, para la multiplicación de matrices, si las dos matrices se representan por A y B, generalmente A × B y B × A no son iguales, el resultado del cálculo está relacionado con el orden anterior y posterior de las dos matrices multiplicadas, que es muy diferente de la operación de multiplicación común.
Las personas se han acostumbrado a la ley de conmutación de multiplicación bien conocida y han dudado sobre la naturaleza no intercambiable de la multiplicación de matrices, pero esta multiplicación de matrices no intercambiables ha encontrado su lugar en la creación de la mecánica cuántica. En el verano de 1925, el físico alemán Heisenberg, de 24 años, construyó una nueva teoría cuántica, cuyo resultado de multiplicación dependía del orden de multiplicación, entregó el documento a su mentor Born, quien recordó la multiplicación de matrices, la multiplicación que Heisenberg usó es la multiplicación de matrices, que la mayoría de los físicos no estaban familiarizados con en ese momento, y más tarde se llamó mecánica de matrices, que es una parte importante de la mecánica cuántica. Heisenberg ganó el Premio Nobel de Física en 1932 por su importante contribución a la creación de la teoría de la mecánica cuántica.