¿Por qué a^0 = 1
En matemáticas, a menudo se encuentran con la multiplicación de varios números idénticos, por lo que se introdujo la operación de multiplicación y se denota con el símbolo an, como 7^5 = 7 × 7 × 7 × 7 × 7. n en an se llama exponente y se refiere al número de veces que se multiplica el mismo número. De acuerdo con la definición del cuadrado, ¿qué es igual a ^ 0 (a ≠ 0)?¿Cuál es el resultado de a multiplicándose por sí mismo 0 veces si se entiende esta ecuación? No es de extrañar que no podamos estar seguros de la respuesta, porque en la definición del cuadrado, el exponente es un entero positivo. Por lo tanto, cuando extendemos el exponente de un entero positivo a 0, no podemos aplicar la definición original. Pero lo maravilloso es que se puede dar un resultado apropiado de a^0 con la ayuda de la definición original del cuadrado. Volvamos a la potencia de enteros positivos y veamos las propiedades operativas que tiene el cuadrado.
Tomemos un ejemplo simple: 7^5 × 7^3 = (7 × 7 × 7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7) = 7^8. Para esto, hay un algoritmo más simple: 7^5 × 7^3 = 7^(5 + 3) = 7^8. En términos generales, tenemos a ^ m · a ^ n = a ^ (m + n). Del mismo modo, como 0 no puede ser divisor, también requerimos a ≠ 0. Vemos cómo calcular a^0 en el algoritmo de multiplicación. De hecho, tomando el mismo exponente, tenemos: a ^ m ÷ a ^ m = 1, por lo que obtienes a ^ 0 = 1 (a ≠ 0).
Sobre la base de la definición anterior, también podemos generalizar el exponente a un entero negativo. Debido a que a ^ (- n) · a ^ n = a ^ 0 = 1, hay a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Un poco más adelante, el exponente en el cuadrado se puede generalizar a un exponente fraccionario. Esto sólo requiere reconocer la premisa de que el algoritmo de la multiplicación sigue siendo válido cuando el exponente es una fracción. Así que hay a ^ (1 / 2), que significa que dos a ^ (1 / 2) multiplicados por a, es decir, al cuadrado igual a, y eso es correcto, es √ a. De acuerdo con el mismo pensamiento, se puede dar una definición cuando el índice es una fracción general. Si se aprenden los límites, también se puede generalizar el exponente a un número real arbitrario. Sin embargo, el índice fraccionario y el índice irracional tienden a tener más restricciones sobre a.