Un día del siglo VI a. C., el matemático griego Pitágoras pasó por una herrería y escuchó un agradable sonido armonioso al golpear el hierro con un martillo. Por ello, entró en la herrería para analizar los martillos y descubrió que aquellos que producían un sonido armonioso tenían una relación matemática simple: su masa se relacionaba en proporciones enteras. Más concretamente, los martillos que producían un sonido armonioso tenían una masa que era un múltiplo de 1/2, 1/3 o 1/4 de la de otro martillo. Por otro lado, el martillo que siempre producía un sonido desagradable al golpear con otros martillos no tenía esta relación de números enteros con los demás. Pitágoras repitió el experimento con cuerdas y obtuvo el mismo resultado: cuando las cuerdas se dividían en segmentos de longitudes que eran proporciones enteras, emitían un sonido más agradable.
Resultó que la armonía de los sonidos estaba determinada por relaciones de números enteros. Este descubrimiento le inspiró mucho a Pitágoras, quien posteriormente atribuyó el movimiento de los planetas a relaciones de números enteros. Basándose en estos descubrimientos, Pitágoras afirmó que «todo es número», es decir, que todo el universo puede explicarse mediante números enteros o relaciones de números enteros. Este concepto se convirtió en el credo de él y de su escuela pitagórica, que se materializó en la geometría mediante el postulado de que cualquier dos segmentos de línea son conmensurables.
Este concepto, que parece muy intuitivo y lógico, parecía indudable y fue aceptado por los griegos de la época. El punto de inflexión se produjo después de que Pitágoras demostrase el teorema de Pitágoras. Un estudiante de Pitágoras, Hipaso, al estudiar el famoso logro de su maestro, se planteó la siguiente pregunta: ¿son conmensurables los segmentos de línea diagonal y lateral de un cuadrado?
Después de una cuidadosa reflexión, Hipaso descubrió inesperadamente que estos dos segmentos de línea no tenían una unidad de medida común: por muy pequeña que fuera la unidad de medida, no podría ser común a ambos segmentos. En otras palabras, el lado y la diagonal del cuadrado no son conmensurables. O, dicho de otra manera, la relación entre la diagonal y el lado del cuadrado (que conocemos hoy como ) no es un número entero ni una fracción, sino un número completamente nuevo e incomprensible en aquel entonces. Este descubrimiento fue devastador para Pitágoras y su escuela, ya que contradecía por completo sus creencias matemáticas y filosóficas. Según la leyenda, Hipaso fue arrojado al mar por los seguidores de Pitágoras por revelar su descubrimiento.
Después de Hipaso, se descubrieron muchos números como este. Más tarde, estos números se denominaron «números irracionales», mientras que los números aceptados anteriormente (números enteros o relaciones enteras) se denominaron «números racionales». En la antigua Grecia, los términos «racional» y «irracional» originalmente significaban «comparable» y «no comparable». Durante la traducción posterior, además del significado de «comparable», se derivaron los significados de «razonable» e «irrazonable». Más tarde, en China, durante la traducción, se tradujeron como «números racionales» y «números irracionales», y la mayoría de la gente ya no sabía que originalmente significaban «números comparables» y «números no comparables».