En 1883, el matemático alemán Cantor presentó un conjunto muy peculiar. Considere el intervalo 0,1, que consta de todos los números reales entre 0 y 1, y divídalo en tres partes, eliminando el intervalo abierto (1/3, 2/3) del medio. De este modo, el conjunto restante será la unión de los dos intervalos restantes, es decir, 0,1/3∪2/3,1. A continuación, divida cada intervalo nuevamente en tres partes y elimine el intervalo abierto del medio, obteniendo un conjunto formado por cuatro intervalos restantes aún más pequeños. Continuando de esta manera, eliminando el tercio central de cada intervalo y repitiendo el proceso indefinidamente, el conjunto de números que quedan se denomina conjunto de Cantor. Es fácil observar que, después de eliminar el segmento central de cada intervalo, la longitud total de todos los intervalos restantes se reducirá a dos tercios de la original. Dado que la longitud total del intervalo inicial es 1, después de la n-ésima operación, la longitud total de todos los intervalos restantes será (2/3)^n. Cuando n tiende a infinito, (2/3)^n tenderá a 0, por lo que la «longitud total» del conjunto de Cantor es 0. Sin embargo, esto solo indica que el conjunto de Cantor no contiene ningún intervalo, y no que no contenga ningún número. Durante el proceso de generación del conjunto de Cantor, como se elimina un intervalo abierto en cada paso, los puntos finales de todos los intervalos restantes no se eliminan, por lo que números como 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 y 8/9 finalmente permanecerán en el conjunto de Cantor. De hecho, dado que se conservan todas las fracciones del tipo (1/3)^n, hay infinitos números en el conjunto de Cantor. Más interesante aún, el conjunto de Cantor también contiene muchos números que no son «valores extremos». Aunque hay infinitos números en el conjunto de Cantor, intuitivamente parece que debería haber muchos menos que los números reales del intervalo 0,1. Sin embargo, sorprendentemente, esto no es cierto; ¡de hecho, hay tantos números en el conjunto de Cantor como en el intervalo 0,1! Es mucho más que los números racionales que parecen cubrir el intervalo 0,1! Para ilustrar esto, representaremos todos los números entre 0 y 1 como números decimales de base 3. Si dividimos estos números en tres partes iguales, estas serán, respectivamente, los números entre 0 y 0,1; entre 0,1 y 0,2; y entre 0,2 y 1. El intervalo abierto que se elimina será el de los números cuyo primer dígito sea 1, y los números restantes serán aquellos cuyo primer dígito sea 0 o 2. En el siguiente paso, eliminaremos el tercio central de cada intervalo, es decir, todos los números cuyo segundo dígito sea 1, y los números restantes serán aquellos cuyo segundo dígito también sea 0 o 2... y así sucesivamente. Al final, los números que quedan en el conjunto de Cantor serán precisamente aquellos que solo consisten en 0 y 2 como dígitos decimales! Por ejemplo, el número 1/4 se expresa como 0,020202..., por lo que 1/4 pertenece al conjunto de Cantor. Además, aunque 1/3 se expresa como 0,1 y 1/9 se expresa como 0,01, también podemos reescribirlos como números decimales infinitamente repetitivos 0,02222... y 0,002222..., respectivamente (siguiendo el mismo razonamiento que 0,999... = 1), por lo que también están en el conjunto de Cantor. A continuación, podemos asociar fácilmente cada número del conjunto de Cantor con todos los números reales del intervalo 0,1. Para cualquier número del conjunto de Cantor, primero lo convertiremos en un número decimal de base 3, cambiaremos todos los dígitos 2 en el desarrollo del número decimal por 1, y luego volveremos a convertirlo en un número decimal, que será un número real entre 0 y 1. Del mismo modo, para cada número real del intervalo 0,1, primero lo escribiremos como un número decimal de base 2, cambiaremos todos los 1 por 2 y lo consideraremos como un número de base 3.Un número decimal en base tres se convierte en un número del conjunto de Cantor. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre los números del conjunto de Cantor y los números reales de todo el intervalo 0, 1, y el número de números en ambos conjuntos es el mismo.
El «longitud total» del conjunto de Cantor es 0, pero el número de elementos que contiene es igual al del intervalo de números reales. Estas propiedades extrañas llamaron rápidamente la atención de los matemáticos. El conjunto de Cantor desempeña un papel importante en diversas ramas de las matemáticas, como la teoría de conjuntos, la topología, la teoría de la medida, el análisis real y la teoría de los fractales.