Los números racionales y los números irracionales juntos forman los números reales. Después de descubrir que los números racionales pueden ser tan numerosos como los enteros positivos que forman parte de ellos, Cantor naturalmente se planteó la siguiente pregunta: ¿podrían los números reales ser tan numerosos como los números racionales que forman parte de ellos? Tras una investigación exhaustiva, Cantor llegó a una conclusión negativa. Para ilustrar la conclusión de Cantor, primero observemos un hecho: la línea que parte del punto A establece una correspondencia uno a uno entre los puntos del semicírculo y los puntos del eje de los números reales, mientras que las líneas verticales establecen una correspondencia uno a uno entre los puntos del intervalo (0,1) y los puntos del semicírculo. Por lo tanto, podemos afirmar que los números reales del intervalo (0,1) son tan numerosos como los números reales en general.
Ahora, Cantor solo necesitaba demostrar que los números reales del intervalo (0,1) no podían ordenarse en una secuencia infinita como los números racionales. Para ello, ofreció una prueba muy ingeniosa por contraposición: supongamos que los números reales del intervalo (0,1) se pueden ordenar en una lista, denominada x₁, x₂, x₃, …. Sabemos que cada número real del intervalo (0,1) puede representarse de forma única como un número decimal infinito, y cada xᵢ se puede representar como xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃… (i=1,2,…).
Ahora construyamos un nuevo número x=0.b₁b₂b₃…, de manera que b₁≠a₁¹, b₂≠a₂², b₃≠a³³, …, y así sucesivamente. Este número x, por supuesto, es un número real del intervalo (0,1), pero no puede ser ninguno de los números de la secuencia x₁, x₂, x₃, ….
Esto demuestra que, independientemente de cómo se ordenen los números reales del intervalo (0,1), siempre habrá al menos un número que no pueda incluirse en esta secuencia. Por lo tanto, aunque los números reales del intervalo (0,1) y los números racionales son infinitos, el infinito de los primeros (es decir, el infinito de todos los números reales) es mayor que el infinito de los segundos (es decir, el infinito de todos los números naturales). Dado que los números reales, sin contar los números racionales, son irracionales, está claro que el conjunto de números irracionales tampoco se puede ordenar en una secuencia (ya que dos secuencias siempre se pueden combinar en una sola secuencia), lo que demuestra que los números irracionales son más numerosos que los números racionales.