Desde la introducción de la unidad imaginaria i = −1, los matemáticos han comenzado a usar cada vez más números complejos para resolver problemas matemáticos. A pesar de esto, al principio, los matemáticos no reconocían los números complejos como reales, considerándolos algo ilusorio, un número imaginario. El gran matemático Euler hizo una importante contribución al estudio de los números complejos. Fue Euler quien introdujo el nombre de «número imaginario» y el símbolo i para la unidad imaginaria, y también propuso la famosa fórmula de Euler e iθ^ = cosθ + isinθ. Sin embargo, Euler tampoco reconocía la realidad de los números complejos. Dijo: «Todos los números de la forma √−1 son imposibles, porque representan la raíz cuadrada de un número negativo. Sobre estos números solo podemos afirmar que no son nada, ni son más que nada, ni son menos que nada. Son pura ficción». Esta situación se prolongó durante casi 200 años, hasta la época de Gauss en el siglo XIX, cuando finalmente llegó a su fin.
Sabemos que los números reales se pueden representar mediante un punto en el eje de los números reales. Entonces, ¿cómo se representa el número imaginario i? En aquel entonces, varios matemáticos europeos, como Wessel, Argand y Gauss, observaron que un número multiplicado por −1 es igual a su número opuesto, y en el eje de los números reales, esto equivale a girar 180° en torno al origen O. Si se multiplica por −1 de nuevo, esto equivale a volver al origen. Ahora bien, i^2 = −1, lo que indica que multiplicar i por sí mismo dos veces equivale a girar 180° en torno al origen. Por lo tanto, multiplicar i por uno debería equivaler a girar 90° (en sentido contrario a las agujas del reloj). A partir de esto, se puede imaginar que todos los números puramente imaginarios deberían ubicarse en una línea perpendicular al eje de los números reales que pase por el origen, el eje imaginario. El eje de los números reales se denomina eje real, y juntos, el eje real y el eje imaginario forman un sistema de coordenadas cartesianas en un plano, donde a + bi representa un punto (a, b) en este plano. Este plano en el que se representan los números complejos se denomina plano complejo.
Este método otorga a los números complejos y sus operaciones de suma, resta, multiplicación y división un significado geométrico evidente. A partir de entonces, los números complejos tuvieron un modelo real, y la gente comenzó a tomarlos en serio. Los números imaginarios, que antes eran algo ilusorio, se convirtieron en algo real. El modelo de Gauss y otros no solo otorgó realismo a los números complejos y disipó las dudas, sino que también vinculó los números complejos con la geometría plana y las operaciones vectoriales, lo que permitió aplicar los números complejos a muchos problemas matemáticos y físicos en el plano. En el siglo XIX, sobre esta base, se desarrolló una disciplina llamada teoría de funciones complejas, que es una extensión del cálculo a las funciones de variables complejas. Las funciones complejas tienen importantes aplicaciones en hidrodinámica y elasticidad, por ejemplo, en el diseño de alas se utilizan mapas conformes de funciones complejas. Más sorprendentemente, las funciones complejas también se utilizan para estudiar la distribución de los números primos y se han convertido en una rama importante de las matemáticas modernas. Hoy en día, tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, los números complejos son indispensables. La gente del pasado nunca podría haber imaginado que estos números «puramente imaginarios» tuvieran hoy en día una aplicación tan versátil.