Como es sabido, los números de la forma a + b i se denominan números complejos, donde a y b son números reales, y i representa un número que difiere mucho de los números reales que conocemos habitualmente, y parece que no encontramos este tipo de números en nuestro mundo real. ¿Por qué tenemos que introducir estos números? Los libros de matemáticas de la escuela secundaria ya nos han dicho que, cuando resolvemos una ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, si ∆ = b 2 -4ac <0, entonces la ecuación tiene una pareja de raíces conjugadas. Efectivamente, la introducción de números complejos permite que también haya raíces cuando ∆ <0, pero en este caso, el hecho de que la ecuación no tenga raíces en el ámbito de los números reales puede ser más acorde con la realidad, y no parece necesario introducir artificialmente raíces complejas invisibles e inaccesibles.
Históricamente, los números complejos fueron introducidos por el matemático italiano Cardano en el siglo XVI. Su principal objetivo al introducir los números complejos era resolver ecuaciones algebraicas de tercer grado. Para ello, consideremos un ejemplo, la ecuación cúbica x 3 -7x + 6 = 0. Se puede verificar fácilmente que esta ecuación tiene tres raíces reales: x = 1, x = 2 y x = -3. Dado que una ecuación cúbica tiene como máximo tres raíces diferentes, estas tres raíces son todas las raíces de la ecuación. En aquel entonces, Cardano ya conocía la fórmula para resolver ecuaciones cúbicas de la forma x 3 + px + q = 0. Para aplicar esta fórmula a la ecuación x 3 -7x + 6 = 0, donde p = -7 y q = 6, en la fórmula anterior, es necesario manejar números como estos para obtener finalmente tres raíces reales. Cardano observó que, cuando ∆ <0, para encontrar las raíces de una ecuación cúbica (incluso si son raíces reales), no se puede evitar la operación de extracción de raíces cuadradas de números negativos, y por lo tanto, es necesario manejar nuevos números generados por la extracción de raíces cuadradas de números negativos, como los mencionados anteriormente. Cardano introdujo una nueva clase de números en las matemáticas, que hoy en día llamamos números complejos. En aquel entonces, estos números se escribían de forma unificada, donde a y b eran números reales. Más tarde, Euler sugirió usar i para reemplazar estos números, y así surgió la representación actual de los números complejos: a + b i.
Después de la introducción de los números complejos en las matemáticas, no solo se han "quedado para siempre", sino que su utilidad ha ido en aumento. Los números complejos no solo se utilizan para resolver ecuaciones de tercer o cuarto grado, sino también para el cálculo de funciones trigonométricas. Un ejemplo de esto es la famosa fórmula de Descartes. Al tomar n = 2 y n = 3, se pueden obtener las fórmulas de doble ángulo y triple ángulo de las funciones trigonométricas, y a partir de estas, también se puede obtener la fórmula de n ángulos. Hay muchos problemas en el ámbito de los números reales que se pueden resolver de forma simple o ingeniosa utilizando el ámbito de los números complejos. En este sentido, el matemático francés Adama hizo un comentario muy apropiado: el camino más corto entre dos verdades en el ámbito de los números reales es a través del ámbito de los números complejos.