En los libros de texto de secundaria, además del logaritmo común lg x, también existe el logaritmo natural ln x, que representa el logaritmo con base e, donde e = 2,718281828… ¿Por qué se llama logaritmo natural al logaritmo con base e? En los libros de texto modernos, la función logarítmica se define como la función inversa de la función exponencial, pero no siempre ha sido así en la historia. El logaritmo fue introducido por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier. El logaritmo inventado por Napier permitió convertir la multiplicación de dos números en suma, simplificando enormemente los cálculos complejos que se realizaban en aquel entonces en campos como la astronomía y la navegación. Una función que cumple con las siguientes propiedades se llama función logarítmica: y = f (x) (x > 0); f (x1x2) = f (x1) + f (x2); f (1) = 0.
Durante la búsqueda de una función logarítmica, se descubrió el siguiente hecho: considere la hipérbola y = c/x en el primer cuadrante, donde c es una constante positiva. Supongamos que s es un número positivo y que el área de la región sombreada se denomina Lc (s). Convencionalmente, cuando s = 1, esta área es igual a 0; cuando s > 1, su área es positiva; y cuando s < 1, su área es negativa. Bajo esta convención, la función Lc (s) es una función logarítmica.
Ahora, la función logarítmica correspondiente a c = 1 se denomina y = L (s). En aquel entonces, L (s) se llamaba logarítmo natural, ya que era la función logarítmica más simple de Lc (s). Para facilitar los cálculos, también se podía usar para representar otras funciones logarítmicas. De hecho, tan pronto como un año después de que Napier propusiera el logaritmo, alguien ya había compilado tablas de logaritmos, que se incluyeron en el libro de Napier. Sin embargo, en aquel entonces, la gente no sabía qué era el número e, ni existía el concepto de «base de la función logarítmica».
En el siglo XVIII, Euler relacionó la función logarítmica con la función exponencial y consideró la función logarítmica como la función inversa de la función exponencial, momento en el que surgió el concepto de base de la función logarítmica. Euler también descubrió que el número que se conoce como base del logarítmo natural era precisamente el número e.