La base del logaritmo natural, e = 2,718281828…, es una constante importante en matemáticas. ¿Por qué se introdujo esta constante? ¿Cuáles son sus aplicaciones más importantes? Veamos con más detalle.
Primero, consideremos un problema de interés compuesto en un estado ideal: supongamos que hay un banco con una tasa de interés anual del 1%. Un cliente deposita 1 yuan al principio del año, y al final del año, el saldo total es de 1 + 1 = 2 yuanes. Si el banco aplica la misma tasa de interés a los depósitos a plazos más cortos, es decir, la tasa de interés se descuenta según la proporción del plazo del depósito en un año, por ejemplo, la tasa de interés a medio plazo es de 1/2, a tres meses es de 1/4, y a un mes es de 1/12. Ahora, el cliente tiene una mejor estrategia de depósito: si deposita 1 yuan durante medio año, renueva el depósito inmediatamente al final del plazo con el principal y los intereses. En este caso, el saldo total al final del año sería . Si el plazo es de tres meses, el saldo total al final del año sería . Si el plazo es de un mes, el saldo total al final del año debería ser . De esto podemos ver que, cuanto más corto es el plazo del depósito, mayor será el saldo total al final del año según el cálculo de interés compuesto anterior. Supongamos que el banco permite plazos de depósito arbitrariamente cortos, por ejemplo, 1 día, 1 hora o 1 minuto, o incluso más cortos. Entonces, ¿cuán grande podría ser el saldo total al final del año si se deposita 1 yuan durante 1 año? ¿Se harían los depositantes muy ricos?
En 1697, el matemático suizo Jacob Bernoulli consideró este problema. Si dividimos un año en n partes iguales y calculamos el interés compuesto durante n años, entonces el saldo total al final del año sería . Jacob Bernoulli demostró que cuando n se hace cada vez más grande hasta el infinito, este saldo total aumentará, pero no infinitamente, sino que se acercará cada vez más a un valor fijo, que está entre 2 y 3. Ahora sabemos que este valor es igual a 2,718281828… En términos de límite matemático, cuando n tiende al infinito, existe un límite para la secuencia. Esto nos dice que, no importa cuán corto sea el plazo del depósito, el saldo total al final del año no superará el valor límite de la secuencia, que es 2,718281828…. Si se calcula el interés compuesto cada momento, el saldo total al final del año será este valor límite.
Más tarde, el matemático suizo Euler, al estudiar las funciones exponenciales y logarítmicas, volvió a encontrar este límite y lo denominó e. También demostró que e es un número irracional. Más importante aún, Euler demostró que para cualquier número real x, cuando n tiende al infinito, el límite de la secuencia es e^x, es decir, la función exponencial con base e. Esto es simplemente una generalización del cálculo del interés compuesto anterior: el capital sigue siendo 1, pero la tasa de interés se cambia a x. Bajo estas condiciones, si se calcula el interés compuesto cada momento, el saldo total al final del año será e^x. Sin embargo, aquí la «tasa de interés» x puede ser positiva o negativa, y ser cualquier número real no nulo.
El banco anterior es, por supuesto, un modelo matemático ficticio, pero muchos fenómenos naturales reales encajan en este modelo. Siempre que una cantidad aumente (o disminuya) a un ritmo fijo cada momento (o cada instante), su variación seguirá la ley de crecimiento exponencial (o disminución exponencial). Por ejemplo, la masa de un material radiactivo disminuye con el tiempo, la intensidad de las ondas sonoras o luminosas disminuye con la distancia, la relación entre la respuesta humana a diversos estímulos y la intensidad del estímulo, etc., todos siguen esta ley exponencial. Las conclusiones de Malthus sobre el crecimiento exponencial de la población también se basan en el mismo modelo matemático.
Euler también demostró que la tasa de cambio instantánea (es decir, la derivada) de la función exponencial e^x es ella misma. Por ejemplo, si la velocidad de un objeto en movimiento en el momento t es e^t, entonces su aceleración en el momento t también es e^t. Esta propiedad única de la función e^x le otorga un papel especial en cálculos de matemáticas, resolución de ecuaciones diferenciales, etc., y por lo tanto, en diversas deducciones teóricas y cálculos de ingeniería.Durante los cálculos, el número e y e^x aparecen constantemente.
Con el avance de la tecnología y el desarrollo de las matemáticas, el número e se usa cada vez más. Este número se puede encontrar en todas las áreas de las matemáticas. Una de las razones principales de esto es la naturaleza única de la función exponencial con base e.