En un día de verano de 1900, más de 200 de los matemáticos más destacados se reunieron en París, Francia, para una conferencia internacional de matemáticos. En la conferencia, el famoso matemático alemán Hilbert pronunció un importante discurso titulado «Problemas matemáticos». En su discurso, enumeró una serie de problemas matemáticos que, en su opinión, eran los más importantes. Estos problemas atrajeron el interés de muchos matemáticos y tuvieron un profundo impacto en el desarrollo de las matemáticas. Cien años después, en 2000, los matemáticos del Instituto Clay de Matemáticas también celebraron una conferencia de matemáticas en París. En la conferencia, los participantes también enumeraron algunos de los problemas matemáticos que, en su opinión, eran los más importantes. Aunque su prestigio quizás no podía compararse con el de Hilbert, lograron algo que él no pudo hacer: establecieron un premio de un millón de dólares para cada problema. Estas dos conferencias de matemáticas, que se celebraron en París, Francia, tenían un aspecto notable en común: entre los problemas enumerados, había uno, y solo uno, que era común a ambas. Este problema era la conjetura de Riemann, formulada por Riemann en 1859, que muchos matemáticos consideran una de las conjeturas matemáticas más importantes.
¿Qué es la conjetura de Riemann? El contenido de la conjetura de Riemann no se puede describir completamente con matemáticas elementales. En términos generales, es una conjetura sobre una función de variables complejas llamada función zeta de Riemann (es decir, una función cuyos valores se toman tanto en el dominio de los números complejos como en el de las variables). La función zeta de Riemann, al igual que muchas otras funciones, tiene valores cero en ciertos puntos, que se llaman puntos cero de la función zeta de Riemann. Entre estos puntos cero, hay una parte particularmente importante llamada puntos cero no triviales de la función zeta de Riemann.
La conjetura de Riemann sigue sin resolverse hasta el día de hoy (ni se ha demostrado ni se ha refutado). Sin embargo, los matemáticos han estudiado intensamente la conjetura desde dos aspectos diferentes: el análisis y la computación numérica. Hasta el momento, el resultado más sólido obtenido en el aspecto analítico es la demostración de que al menos el 40 % de los puntos cero no triviales se encuentran en la línea crítica, que es una línea paralela al eje imaginario y que pasa por el punto 1/2 en el eje real.
¿Por qué es tan importante la conjetura de Riemann? ¿Es porque es muy difícil? No. Por supuesto, la conjetura de Riemann es muy difícil, pero si solo la juzgamos por su dificultad, otras conjeturas matemáticas famosas no son menos difíciles. Por ejemplo, la conjetura de Fermat tardó más de 350 años en demostrarse; la conjetura de Goldbach se formuló más de 100 años antes que la de Riemann, pero, al igual que la de Riemann, sigue en pie hasta el día de hoy. Entonces, ¿por qué se considera la conjetura de Riemann la conjetura matemática más importante? La razón principal es que tiene una estrecha relación con otras proposiciones matemáticas. Según las estadísticas, más de 1000 proposiciones matemáticas en la literatura matemática actual se basan en la conjetura de Riemann (o en sus formulaciones extendidas). Esto significa que, una vez demostrada la conjetura de Riemann (o sus formulaciones extendidas), todas estas más de 1000 proposiciones matemáticas podrían convertirse en teoremas; y, a la inversa, si la conjetura de Riemann fuera refutada, al menos una parte de estas más de 1000 proposiciones matemáticas inevitablemente se convertiría en «víctimas». El hecho de que una conjetura matemática tenga una relación tan estrecha con un número tan grande de proposiciones matemáticas es algo único en las matemáticas. En segundo lugar, la conjetura de Riemann está estrechamente relacionada con el problema de la distribución de los números primos en la teoría de números, una rama tradicional muy importante de las matemáticas, que el matemático alemán Gauss llamó «la reina de las matemáticas». El problema de la distribución de los números primos es un tema tradicional muy importante en la teoría de números y ha atraído el interés de muchos matemáticos durante mucho tiempo. Esto también ha aumentado considerablemente la importancia de la conjetura de Riemann entre los matemáticos.La posición y la importancia de la Conjetura de Riemann en la historia de las matemáticas. Además, la importancia de una conjetura matemática también se puede medir por si, durante el estudio de la misma, se pueden generar métodos y resultados que contribuyan y tengan un impacto en otras áreas de las matemáticas. De hecho, uno de los primeros resultados obtenidos por los matemáticos durante el estudio de la Conjetura de Riemann condujo directamente a la demostración de una importante proposición sobre la distribución de los números primos: la Teoría de los Números Primos. Por último, y lo más sorprendente de todo, la importancia de la Conjetura de Riemann incluso trasciende el ámbito de las matemáticas puras y «invade» el territorio de la física. A principios de la década de 1970, se descubrió que ciertas investigaciones relacionadas con la Conjetura de Riemann tenían una notable conexión con algunos fenómenos físicos muy complejos. La razón de esta conexión sigue siendo un misterio hasta el día de hoy, pero su existencia sin duda aumenta aún más la importancia de la Conjetura de Riemann.