En la secuencia de números primos, algunos números primos adyacentes tienen una diferencia de 2, como 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc. Estos números primos se llaman números primos gemelos. A primera vista, parece que los números primos gemelos están bastante densos en la secuencia de números primos, pero en realidad no es así, y cada vez es más difícil encontrarlos a medida que avanzamos. Se puede demostrar que los números primos gemelos están bastante dispersos en la secuencia de números primos, y su densidad es cero; es decir, casi todos los números primos no son números primos gemelos. A pesar de esto, los números primos gemelos aparecen de vez en cuando. En 2011, se descubrieron dos números primos gemelos de 200700 dígitos: 3756801695685 × 2666669 ± 1. Parece que los números primos gemelos son infinitos. Se conjetura que hay infinitas parejas de números primos gemelos. La dificultad de esta conjetura es comparable a la del teorema de Goldbach para los números pares, y hasta ahora no se ha resuelto. En 2013, el matemático chino-estadounidense Zhang Yitang demostró que existe un número entero positivo n, que no excede los 7×10^7, tal que hay infinitas parejas de números primos p y q que satisfacen p q = n. Este es el avance de investigación más destacado desde que se propuso la conjetura de los números primos gemelos.
La conjetura de los números primos gemelos también se puede formular como: el polinomio x y x+2 pueden tomar valores primos infinitas veces al mismo tiempo. Utilizando el lenguaje de los polinomios, también se puede plantear la conjetura de los tres números primos gemelos: el polinomio x, x+2 y x+6 pueden tomar valores primos infinitas veces al mismo tiempo. De manera más general, los matemáticos británicos Hardy y Littlewood plantearon la conjetura de los k números primos gemelos, donde k es un número entero positivo fijo. Por supuesto, ninguna de las conjeturas mencionadas ha sido demostrada.
La conjetura de Erdős-Turán considera algunas conexiones entre los números primos desde otra perspectiva. No tiene requisitos específicos sobre la diferencia entre los números primos (como los números primos gemelos, cuya diferencia es 2), pero requiere un número arbitrario de números primos. La conjetura de Erdős-Turán afirma que hay secuencias aritméticas infinitas de números primos en la secuencia de números primos. En 2004, Tao y Green combinaron la teoría de la enumeración y la teoría analítica de los números para resolver este problema matemático no resuelto durante muchos años, lo que fue una de las principales contribuciones de Tao al Premio Fields.