Parmi toutes les séries de nombres, la suite de Fibonacci est sans aucun doute la plus célèbre. En 1202, Léonard de Fibonacci, un mathématicien né à Pise en Italie, a achevé son œuvre célèbre, le « Livre de l’arithmétique », dans laquelle il a étudié un intéressant « problème de reproduction des lapins », qui a donné naissance à la suite de Fibonacci.
Le « problème de reproduction des lapins » est en réalité un modèle mathématique proposé par Fibonacci : supposons qu’un couple de grands lapins produise un couple de petits lapins chaque année, et que tous les lapins soient immortels. Alors, comment ces lapins se reproduisent-ils ?
La première année, il n’y a qu’un seul couple de petits lapins. La deuxième année, les petits lapins deviennent un couple de grands lapins, et le nombre de couples reste à un. La troisième année, les grands lapins produisent un couple de petits lapins, et le nombre de couples devient deux. La quatrième année, les anciens petits lapins deviennent un couple de grands lapins, et le nombre de couples devient trois.
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En résumant la loi de reproduction des lapins, on peut constater que le nombre de couples de lapins chaque année est égal au nombre de couples de l’année précédente plus le nombre de nouveaux couples nés cette année : Fn = Fn-1 + Fn-2.
En d’autres termes, si l’on note Fn le nombre de couples de lapins de la n°n année, alors F1 = F2 = 1, et pour n ≥ 3, Fn = Fn-1 + Fn-2 ; on obtient donc la suite suivante : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,… À partir du troisième terme, chaque terme est égal à la somme des deux termes précédents. Comme cette suite a été étudiée pour la première fois par Fibonacci, les mathématiciens l’appellent la suite de Fibonacci.
La suite de Fibonacci est une suite très intéressante, utile et célèbre, qui présente de nombreuses propriétés étonnantes. Les mathématiciens n’ont cessé de l’étudier jusqu’à présent. Nous allons en présenter quelques-unes ci-dessous.
En utilisant les six premiers nombres de la suite de Fibonacci, à savoir 1, 1, 2, 3, 5 et 8, comme côtés de six carrés, on peut former un rectangle dont les côtés ont respectivement une longueur de 8 et 13. De manière générale, n carrés dont les côtés sont respectivement de Fn et Fn + 1 peuvent former un rectangle dont les côtés ont respectivement une longueur de Fn et Fn + 1. En fait, on peut prouver la propriété suivante par induction mathématique :
La suite de Fibonacci a également une formule générale : , où φ est la fameuse section d’or. N’est-ce pas étonnant qu’une formule aussi simple puisse être représentée par un nombre irrationnel ? Déjà au milieu du XVIIIe siècle, les célèbres mathématiciens Descartes et Euler connaissaient cette formule. Au milieu du XIXe siècle, le mathématicien français Jacques Philippe Marie Binet l’a redécouverte.
De plus, on peut observer que, lorsque n augmente, le rapport entre deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci, Fn + 1/Fn, tend de plus en plus vers la section d’or φ.
Outre de nombreuses propriétés mathématiques intéressantes, les scientifiques ont également remarqué que certaines quantités dans le monde végétal suivent la suite de Fibonacci, telles que le nombre de branches d’un arbre, le nombre de pétales d’une fleur, la distribution des graines d’un fruit, l’arrangement des stries sur une écorce, etc. Sur un magnifique tournesol, il y a une spirale à droite et une à gauche dans le disque floral. S’il y a 13 spirales à droite, il y en a 21 à gauche, pour un total de 34. De même, les écailles des cônes de pin sont disposées en spirale, avec cinq colonnes à droite ou à gauche, et huit colonnes dans le sens inverse pour les cônes plus allongés. De plus, de nombreuses fleurs ont un nombre de pétales égal à 3, 5, 8, 13, 21, etc. Si vous êtes intéressés, vous pouvez compter les pétales de certaines fleurs.
Les feuilles des plantes s’alignent en spirale sur la tige. En 1611, l’astronome allemand Kepler a découvert que si l’on place les feuilles situées autour d’une branche ou d’une tige, leur nombre est toujours un nombre de Fibonacci.Les deux feuilles les plus proches dans la même direction sont considérées comme le début et la fin d’un cycle. Au cours de ce cycle, il peut y avoir de nombreuses feuilles, qui peuvent faire plusieurs tours autour de la branche ou de la tige. Si l’on note le nombre total de feuilles dans un cycle comme étant m, et le nombre de tours que les feuilles font dans un cycle comme étant n, alors m et n sont tous deux des nombres liés à la suite de Fibonacci. Par exemple, pour l’orme, n = 1, m = 2 ; pour le hêtre, n = 1, m = 3 ; pour le cerisier et le chêne, n = 2, m = 5 (c’est-à-dire qu’il y a 5 feuilles par cycle, et qu’un cycle se termine après 2 tours) ; pour le poirier, n = 3, m = 8 ; pour le saule, n = 5, m = 13. Ces nombres sont tous issus de la suite de Fibonacci, c’est vraiment incroyable !
Il y a encore beaucoup d’autres histoires à propos de la suite de Fibonacci, en particulier le lien étroit entre la suite de Fibonacci et la section d’or.