Les nombres premiers sont des nombres naturels supérieurs à 1 qui ne peuvent être divisés, à part par 1 et eux-mêmes, par aucun autre nombre naturel. Alors, 1 est-il un nombre premier ? Soit p un entier supérieur à 1, on dit que p est un nombre premier (ou un nombre premier) s’il n’a que deux facteurs : 1 et p. En d’autres termes, un nombre premier ne peut être décomposé en un produit de deux facteurs inférieurs à lui-même. La suite des nombres premiers est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…
Les nombres premiers sont importants car tout nombre naturel supérieur à 1 peut être décomposé en un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique (si l’on ne tient pas compte de l’ordre des facteurs). Ce résultat est appelé le « théorème fondamental de l’arithmétique ». Par exemple, 7623 peut être décomposé en 3² × 7 × 11², et l’unicité signifie que les facteurs premiers 3, 7 et 11, ainsi que leurs puissances respectives 2, 1 et 2, sont uniques et ne peuvent être remplacés par d’autres nombres. Nous savons que toute puissance de 1 est égale à 1, et si 1 était considéré comme un nombre premier, on pourrait insérer n’importe quelle puissance de 1 dans la décomposition de 7623, ce qui détruirait l’unicité de la décomposition et causerait des problèmes inutiles. C’est pourquoi les mathématiciens ont clairement stipulé que 1 n’est pas un nombre premier.
Le théorème fondamental de l’arithmétique montre que les nombres premiers sont les « éléments de base » qui composent les nombres entiers. La table des nombres premiers est à l’arithmétique ce que la table périodique des éléments est à la chimie, avec une différence majeure : la table des nombres premiers est infinie.