Depuis l'introduction de l'unité imaginaire i = –, les mathématiciens ont de plus en plus utilisé les nombres complexes pour résoudre des problèmes mathématiques. Malgré cela, au début, les mathématiciens ne reconnaissaient pas les nombres complexes comme des nombres réels, les considérant comme des entités abstraites et imaginaires. Le grand mathématicien Euler a fait une contribution importante à l'étude des nombres complexes. Il a introduit le nom « nombre imaginaire » et le symbole i pour l'unité imaginaire, et il a donné la célèbre formule d'Euler e iθ = cosθ + isinθ. Cependant, Euler ne reconnaissait pas non plus la réalité des nombres complexes. Il a déclaré : « Tous les nombres de la forme et sont impossibles, car ils représentent la racine carrée d'un nombre négatif. Pour ces nombres, nous pouvons seulement affirmer qu'ils ne sont ni rien, ni plus que rien, ni moins que rien. Ils sont purement fictifs. » Cette situation a perduré pendant près de 200 ans, jusqu'à l'époque de Gauss au XIXe siècle, où elle a pris fin.
Nous savons que les nombres réels peuvent être représentés par un point sur l'axe des nombres réels. Alors, comment représenter le nombre imaginaire i ? À l'époque, plusieurs mathématiciens européens, tels que Wessel, Argand et Gauss, ont remarqué qu'un nombre multiplié par -1 est égal à son opposé, et sur l'axe des nombres réels, cela revient à tourner de 180° autour de l'origine O. Si l'on multiplie ensuite par -1, cela revient à revenir à la position initiale. Maintenant, i^2 = -1, ce qui indique que multiplier i deux fois équivaut à tourner de 180° autour de l'origine. Par conséquent, multiplier i une fois devrait correspondre à un tour de 90° (dans le sens antihoraire). On peut donc imaginer que tous les nombres purement imaginaires devraient se situer sur une ligne perpendiculaire à l'axe des nombres réels et passant par l'origine, c'est-à-dire l'axe imaginaire. L'axe des nombres réels est appelé l'axe réel, et l'axe réel et l'axe imaginaire forment un système de coordonnées cartésiennes, et le nombre complexe a + bi représente un point (a, b) sur ce plan cartésien. Ce plan où les nombres complexes sont représentés est appelé le plan complexe.
Cette méthode donne un sens géométrique évident aux nombres complexes et à leurs opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. À partir de là, les nombres complexes ont un modèle réel, et les gens ont commencé à les considérer comme réels. Les nombres complexes, autrefois abstraits et imaginaires, sont devenus des entités concrètes. Le modèle de Gauss et d'autres non seulement a donné aux nombres complexes une réalité et dissipé les doutes, mais il a également lié les nombres complexes à la géométrie plane et aux opérations vectorielles, permettant l'application des nombres complexes à de nombreux problèmes mathématiques et physiques dans le plan. Au XIXe siècle, sur cette base, une discipline appelée théorie des fonctions complexes a été développée, qui est une extension de l'infinitésimal calcul sur les fonctions à variables complexes. Les fonctions complexes ont des applications importantes en hydrodynamique et en élastique, par exemple, la conception d'une aile utilisera les cartes conformes en théorie des fonctions complexes. Plus surprenant encore, les fonctions complexes sont utilisées pour étudier la distribution des nombres premiers et sont devenues une branche importante des mathématiques modernes — la théorie analytique des nombres. De nos jours, que ce soit les mathématiques pures ou appliquées, les nombres complexes sont indispensables. Les gens du passé n'auraient jamais imaginé qu'un tel nombre « purement imaginaire » puisse être si puissant aujourd'hui.