Un jour, au VIe siècle avant J.-C., le mathématicien grec Pythagore passa devant une forge et entendit le son harmonieux des coups de marteau sur le fer. Il entra dans la forge pour analyser le marteau et réalisa que les marteaux dont les sons étaient harmonieux entre eux avaient une relation mathématique simple : leurs masses étaient des multiples entiers les unes des autres. Plus précisément, les marteaux dont le poids était égal à la moitié, un tiers ou un quart du poids d’un autre marteau produisaient un son harmonieux. En revanche, le marteau qui produisait toujours un son dissonant lorsqu’il était frappé avec un autre marteau n’avait pas cette relation simple entre ses masses et les autres marteaux. Pythagore répéta cette expérience sur les cordes d’un luth et obtint le même résultat : lorsque les cordes étaient divisées en deux segments de longueur égale à des nombres entiers, les sons produits étaient plus agréables. Il s’avéra que l’harmonie des sons dépendait d’une relation de nombres entiers ! Cette découverte musicale inspira grandement Pythagore. Plus tard, il attribua également le mouvement des planètes à des rapports d’entiers. Sur la base de ces découvertes, Pythagore affirma que « tout est nombre », c’est-à-dire que le monde entier pouvait être expliqué par des nombres entiers ou des rapports d’entiers. Cela devint le credo de lui-même et de l’école pythagoricienne qu’il dirigeait. Cette idée se traduisit géométriquement par le postulat selon lequel deux segments de ligne sont commensurables si l’on peut trouver un petit segment de longueur d, de sorte que le premier segment soit un multiple entier de d (par exemple, n fois) et le second un multiple entier de d (par exemple, m fois). En d’autres termes, le rapport entre les deux segments de ligne est un nombre entier ou un rapport de nombres entiers.
Cette conclusion, qui correspondait parfaitement au bon sens et à l’intuition, semblait indéniable et était largement acceptée par les Grecs de l’Antiquité. Le tournant survint après que Pythagore eut démontré le théorème de Pythagore. Hippasus, un étudiant de Pythagore, étudiant le célèbre résultat de son maître, se posa la question suivante : les diagonales d’un carré et ses côtés sont-ils commensurables ? Après une réflexion approfondie, Hippasus découvrit avec surprise que ces deux segments de ligne n’avaient pas d’unité de mesure commune : quelle que soit l’unité de mesure choisie, elle ne pourrait jamais être commune aux côtés et aux diagonales du carré. En d’autres termes, les côtés et les diagonales du carré ne sont pas commensurables ! Ou, pour le dire autrement, le rapport entre la diagonale et le côté d’un carré (que nous connaissons aujourd’hui) n’est ni un nombre entier ni un rapport de nombres entiers, mais un nombre alors totalement inconnu. Cette découverte fut catastrophique pour Pythagore et son école, car elle remettait complètement en cause leurs croyances mathématiques et philosophiques. Selon la légende, Hippasus fut jeté à la mer par les disciples de Pythagore pour avoir révélé sa découverte.
Après Hippasus, de nombreux nombres similaires à ont été découverts. Plus tard, ces nombres ont été regroupés sous le nom d’« irrationnels », tandis que les nombres que les Grecs acceptaient auparavant (entiers ou rapports d’entiers) ont été appelés « rationnels ». Les termes « rationnel » et « irrationnel » avaient à l’origine le sens de « commensurable » et « incommensurable » chez les Grecs. Lors de la traduction ultérieure, outre le sens de « commensurable », ils ont pris le sens de « rationnel » et « irrationnel ». Plus tard, en Chine, lors de la traduction, ils ont été traduits en « nombres rationnels » et « nombres irrationnels », et la plupart des gens ne connaissent plus leur signification originale de « nombres commensurables » et « nombres incommensurables ».