En 1883, le mathématicien allemand Cantor présenta un ensemble très étrange. Considérons l'intervalle 0, 1 constitué de tous les nombres réels compris entre 0 et 1. Divisons cet intervalle en trois parties égales et supprimons l'intervalle ouvert (1/3, 2/3). Ainsi, l'ensemble restant est l'union des deux intervalles restants, à savoir 0, 1/3union2/3, 1. Ensuite, divisons à nouveau chaque intervalle en trois parties et supprimons l'intervalle ouvert (1/3, 2/3). Nous obtenons alors un ensemble composé de quatre intervalles restants. Continuons à supprimer un tiers central de chaque intervalle, et ainsi de suite. Finalement, l'ensemble des nombres restants forme l'ensemble de Cantor.
Il est facile de voir que, après avoir supprimé chaque intervalle central, la longueur totale de tous les intervalles restants devient les deux tiers de la longueur initiale. Comme la longueur initiale de l'intervalle est 1, après la n-ième opération, la longueur totale de tous les intervalles restants n'est plus que (2/3)^n. Lorsque n tend vers l'infini, (2/3)^n tend vers 0, et on peut donc dire que la « longueur totale » de l'ensemble de Cantor est nulle.
Cependant, cela ne signifie que l'ensemble de Cantor ne contient aucun intervalle, et non pas qu'il n'y a pas de nombres dans l'ensemble de Cantor. Pendant la génération de l'ensemble de Cantor, comme chaque intervalle central supprimé est un intervalle ouvert, les points extrêmes de chaque intervalle restant ne sont pas supprimés. Ainsi, des nombres tels que 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 et 8/9 resteront dans l'ensemble de Cantor. En fait, comme tous les nombres de la forme (1/3)^n seront conservés, il y a une infinité de nombres dans l'ensemble de Cantor ! Plus intéressant encore, l'ensemble de Cantor contient également de nombreux nombres qui ne sont pas des « valeurs extrêmes ».
Bien que l'ensemble de Cantor contienne une infinité de nombres, il semble intuitivement qu'il devrait en contenir beaucoup moins que les nombres réels de l'intervalle 0, 1. Pourtant, étonnamment, ce n'est pas le cas. En réalité, il y a autant de nombres dans l'ensemble de Cantor que dans l'intervalle 0, 1 ! Il y en a bien plus que les nombres rationnels qui semblent recouvrir l'intervalle 0, 1 !
Pour illustrer ce point, nous allons représenter tous les nombres entre 0 et 1 sous la forme de nombres décimaux ternaires. Si nous divisons ces nombres en trois parties égales, ils seront respectivement les nombres compris entre 0 et 0,1, entre 0,1 et 0,2 et entre 0,2 et 1. Le segment central supprimé sera composé de tous les nombres dont le premier chiffre est 1, tandis que les nombres restants seront ceux dont le premier chiffre est 0 ou 2. Dans la prochaine étape, nous supprimerons le tiers central de chaque intervalle, c'est-à-dire tous les nombres dont le deuxième chiffre est 1, et les nombres restants seront ceux dont le deuxième chiffre est également 0 ou 2… et ainsi de suite. Finalement, les nombres restant dans l'ensemble de Cantor seront précisément les nombres décimaux ternaires composés uniquement de 0 et de 2 ! Par exemple, le nombre 0,25 sous forme ternaire est 0,020202…, donc 0,25 appartient bien à l'ensemble de Cantor. De même, bien que le nombre 0,3 sous forme ternaire soit 0,1, et le nombre 0,9 sous forme ternaire soit 0,011, nous pouvons également les réécrire comme des nombres décimaux à répétition infinie 0,02222… et 0,002222… (comme pour 0,999… = 1), et ils appartiennent donc également à l'ensemble de Cantor.
Nous pouvons ensuite établir une correspondance bijective entre les nombres de l'ensemble de Cantor et tous les nombres réels de l'intervalle 0, 1. Pour tout nombre de l'ensemble de Cantor, nous le convertissons d'abord en nombre décimal ternaire, transformons tous les chiffres 2 en chiffres 1, puis considérons le nouveau nombre décimal comme un nombre décimal binaire et le reconvertissons en nombre décimal. C'est alors un nombre réel compris entre 0 et 1.
De même, pour tout nombre réel de l'intervalle 0, 1, nous le convertissons d'abord en nombre décimal binaire, puis transformons tous les chiffres 1 en chiffres 2, et le considérons comme un nombre décimal ternaire.Un nombre décimal en base trois devient un nombre de l'ensemble de Cantor. Par conséquent, il existe une correspondance biunivoque entre les nombres de l'ensemble de Cantor et les nombres réels de l'intervalle 0, 1, et le nombre d'éléments dans les deux ensembles est identique !
L'« longueur totale » de l'ensemble de Cantor est nulle, mais le nombre d'éléments qu'il contient est pourtant aussi grand que celui de l'intervalle de nombres réels. Ces propriétés étranges ont rapidement attiré l'attention des mathématiciens. L'ensemble de Cantor joue un rôle important dans diverses branches des mathématiques, telles que la théorie des ensembles, la topologie, la théorie de la mesure, l'analyse réelle et la théorie des fractales.
Pourquoi le nombre de nombres dans l'ensemble de Cantor est aussi grand que le nombre de nombres réels ?
Cet article présente la méthode de construction et les propriétés fondamentales de l'ensemble de Cantor. En convertissant les nombres de l'ensemble de Cantor en nombres décimaux ternaires ne contenant que les chiffres 0 et 2, puis en établissant une correspondance biunivoque avec les nombres décimaux des nombres réels compris entre 0 et 1, il explique pourquoi le nombre de nombres dans l'ensemble de Cantor est égal au nombre de nombres réels.
