Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment ensemble les nombres réels. Après avoir découvert qu’il existe autant de nombres rationnels que d’entiers positifs qui en font partie, Cantor s’est naturellement posé la question suivante : les nombres réels peuvent-ils être aussi nombreux que les nombres rationnels qui en font partie ? Après des recherches approfondies, Cantor est arrivé à une conclusion négative. Pour illustrer la conclusion de Cantor, notons d’abord un fait : la droite partant du point A établit une correspondance biunivoque entre les points du demi-cercle et les points de l’axe des nombres réels, tandis que les droites perpendiculaires établissent une correspondance biunivoque entre les points de l’intervalle (0, 1) et les points du demi-cercle. On peut donc affirmer qu’il y a autant de nombres réels dans l’intervalle (0, 1) qu’il y a de nombres réels en général.
Maintenant, Cantor devait simplement prouver que les nombres réels dans l’intervalle (0, 1) ne pouvaient pas être rangés en une suite infinie comme les nombres rationnels. Pour cela, il a donné une preuve très ingénieuse par la méthode des cas particuliers : supposons que les nombres réels dans l’intervalle (0, 1) puissent être rangés en une suite, notée x₁, x₂, x₃, ... Nous savons que chaque nombre réel de l’intervalle (0, 1) peut être représenté de manière unique par un nombre décimal fini, et chaque xᵢ peut être représenté par xᵢ = 0,aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃ ... (i = 1, 2, ...).
Maintenant, construisons un nouveau nombre x = 0,b₁b₂b₃ ... tel que b₁ ≠ a₁₁, b₂ ≠ a₂₂, b₃ ≠ a₃₃, ... et ainsi de suite. Ce nombre x est bien sûr un nombre réel de l’intervalle (0, 1), mais il ne peut pas être l’un des nombres de la suite x₁, x₂, x₃, ...
Cela montre que, quelle que soit la manière dont les nombres réels de l’intervalle (0, 1) sont rangés, il y a toujours au moins un nombre qui ne peut pas être rangé dans cette suite. Par conséquent, bien que les nombres réels de l’intervalle (0, 1) et les nombres rationnels soient tous deux infinis, leur infinité (celle de tous les nombres réels) est plus grande que celle de tous les nombres rationnels (celle de tous les nombres naturels). Comme les nombres réels, moins les nombres rationnels, sont des nombres irrationnels, il est clair que l’ensemble des nombres irrationnels ne peut pas non plus être rangé en une suite (car deux suites peuvent toujours être combinées en une seule suite), ce qui montre que les nombres irrationnels sont plus nombreux que les nombres rationnels.