Comme nous le savons, les nombres de la forme a + b i sont appelés des nombres complexes, où a et b sont des nombres réels, et i représente un nombre qui diffère grandement des nombres réels que nous connaissons habituellement, et il semble que nous ne rencontrons pas de tels nombres dans notre monde réel. Pourquoi devons-nous absolument introduire de tels nombres ? Les manuels de mathématiques du secondaire nous ont déjà appris que, lorsque nous résolvons une équation du second degré ax 2 + bx + c = 0, si ∆ = b 2 -4ac < 0, l'équation a deux racines conjuguées. En effet, l'introduction des nombres complexes permet d'obtenir des racines lorsque ∆ < 0, mais il se peut que l'équation n'ait pas de racines dans le domaine des nombres réels, ce qui serait plus conforme à la réalité. Il semble donc inutile d'introduire artificiellement des racines complexes invisibles et intangibles.
Historiquement, les nombres complexes ont été introduits au XVIe siècle par le mathématicien italien Cardano. Son objectif principal était de résoudre les équations algébriques du troisième degré. Pour cela, prenons un exemple. Considérons l'équation cubique x 3 -7x + 6 = 0. Il est facile de vérifier que cette équation a trois racines réelles : x = 1, x = 2 et x = -3. Étant donné que l'équation cubique n'a pas plus de trois racines différentes, ces trois racines sont toutes les racines de l'équation. À l'époque, Cardano connaissait déjà la formule de résolution des équations cubiques de la forme x 3 + px + q = 0. Pour appliquer cette formule à l'équation x 3 -7x + 6 = 0, où p = -7 et q = 6, il fallait traiter des nombres de ce type pour obtenir finalement trois racines réelles. Cardano a remarqué que, lorsque ∆ < 0, pour trouver les racines d'une équation cubique (même réelles), on ne pouvait pas éviter d'effectuer des opérations sur des nombres négatifs, et on était obligé de traiter les nouveaux nombres générés par l'extraction des racines des nombres négatifs. C'est ainsi que Cardano a introduit une nouvelle catégorie de nombres, que nous appelons aujourd'hui les nombres complexes. À l'époque, ces nombres étaient écrits sous la forme a + b i, où a et b sont des nombres réels. Plus tard, Euler a suggéré d'utiliser i à la place, ce qui a donné la représentation actuelle des nombres complexes : a + b i.
Depuis l'introduction des nombres complexes dans les mathématiques, non seulement ils ne sont plus partis, mais leur utilité n'a cessé de s'étendre. Les nombres complexes sont utilisés non seulement pour résoudre des équations du troisième ou du quatrième degré, mais aussi pour le calcul des fonctions trigonométriques. La célèbre formule de Descartes en est un exemple. En prenant n = 2 et n = 3, on obtient les formules de la double et de la triple angulation des fonctions trigonométriques, et par conséquent, on peut également obtenir la formule de la n-uple angulation. De nombreux problèmes du domaine des nombres réels peuvent être résolus simplement ou ingénieusement dans le domaine des nombres complexes. À ce sujet, le mathématicien français Adama a fait une remarque pertinente : le chemin le plus court entre deux vérités dans le domaine des nombres réels passe par le domaine des nombres complexes.