Dans les manuels scolaires, en plus de la logarithme courante lg x, il existe également la logarithme naturelle ln x, qui représente la logarithme avec pour base e, où e = 2,718281828… Pourquoi la logarithme avec pour base e est-elle appelée logarithme naturelle ? Dans les manuels scolaires modernes, la fonction logarithme est définie comme l’inverse de la fonction exponentielle, mais ce n’était pas le cas historiquement. La logarithme a été introduite pour la première fois par le mathématicien écossais John Napier en 1614. La logarithme inventée par Napier permettait de transformer le produit de deux nombres en une addition, simplifiant ainsi considérablement les calculs complexes rencontrés dans les domaines scientifiques de l’astronomie et de la navigation à l’époque. Une fonction qui répond aux propriétés suivantes est appelée une fonction logarithme : y = f (x) (x > 0) ; f (x1x2) = f (x1) + f (x2) ; f (1) = 0.
Dans la recherche d’une fonction logarithme, on a découvert le fait suivant : pour toute constante positive donnée c, et en considérant l’hyperbole y = c/x dans le premier quadrant. Soit s un nombre positif quelconque, et notons Lc (s) l’aire de la partie ombrée. Nous convenons que, lorsque s = 1, cette aire est nulle ; lorsque s > 1, elle est positive ; et lorsque s < 1, elle est négative. Dans cette convention, la fonction Lc (s) est une fonction logarithme.
Maintenant, nous notons la fonction logarithme correspondant à c = 1 comme y = L (s). À l’époque, L (s) était appelée logarithme naturelle, car c’était la fonction logarithme la plus simple parmi toutes les fonctions logarithmes. Pour faciliter les calculs, elle pouvait également être utilisée pour représenter d’autres fonctions logarithmes. En fait, dès l’année suivant la proposition de la logarithme par Napier, quelqu’un l’utilisa pour compiler des tables de logarithmes, qui furent annexées au livre de Napier. Mais à l’époque, on ne connaissait pas le nombre e, et il n’existait pas non plus de concept de « base de la fonction logarithme ».
Au XVIIIe siècle, Euler a établi un lien entre la fonction logarithme et la fonction exponentielle, considérant la fonction logarithme comme l’inverse de la fonction exponentielle, ce qui a permis de définir la base de la fonction logarithme. Euler a également découvert que le nombre appelé base du logarithme naturelle était précisément le nombre e.