Le nombre e, base du logarithme naturel, égal à 2,718281828…, est une constante importante en mathématiques. Pourquoi a-t-on introduit cette constante ? Quelles sont ses applications majeures ? Examinons-le de plus près.
Prenons d’abord le problème d’intérêt composé dans un cas idéal : imaginons une banque dont le taux d’intérêt annuel est de 1 %. Un client dépose 1 yuan au début de l’année, et le solde final à la fin de l’année est de 1 + 1 = 2 yuans. Si la banque appliquait le même taux d’intérêt aux dépôts de plus courte durée, c’est-à-dire en réduisant le taux d’intérêt annuel en fonction de la proportion de la durée du dépôt dans l’année, par exemple ½ pour un dépôt de six mois, ¼ pour un dépôt de trois mois, et ⅛ pour un dépôt d’un mois, le client aurait une meilleure stratégie de dépôt : s’il déposait 1 yuan pour six mois et renouvelait immédiatement le dépôt avec les intérêts à la fin de cette période, le solde final à la fin de l’année serait de . Si le dépôt était de trois mois et renouvelé immédiatement avec les intérêts, le solde final à la fin de l’année serait de . Et si le dépôt était d’un mois, le solde final à la fin de l’année devrait être de . Il est clair que plus la durée du dépôt est courte, plus le solde final à la fin de l’année sera élevé selon le calcul de l’intérêt composé ci-dessus. Supposons que la banque autorise des durées de dépôt arbitrairement courtes, par exemple un jour, une heure ou une minute, voire même plus courtes. Alors, quel serait le solde final à la fin de l’année après un dépôt de 1 yuan pendant un an ? Les déposants deviendraient-ils très riches ?
En 1697, le mathématicien suisse Jacob Bernoulli a étudié ce problème. En calculant l’intérêt composé sur une année divisée en n parties, on obtient un solde final à la fin de l’année de . Jacob Bernoulli a prouvé que lorsque n tend vers l’infini, ce solde final tend vers une valeur fixe, située entre 2 et 3, qui est aujourd’hui connue sous le nom de 2,718281828… En termes de limites mathématiques, lorsque n tend vers l’infini, la suite a une limite. Cela signifie que, quelle que soit la durée du dépôt, le solde final à la fin de l’année ne dépassera pas la valeur limite de la suite, qui est 2,718281828… Si l’intérêt est calculé à chaque instant, le solde final à la fin de l’année sera égal à cette valeur limite.
Plus tard, le mathématicien suisse Euler est tombé sur cette limite lorsqu’il étudiait les fonctions exponentielles et logarithmiques, et la nota e. Il prouva également que e est un nombre irrationnel. Plus important encore, Euler prouva que pour tout nombre réel x, lorsque n tend vers l’infini, la suite a pour limite e^x, c’est-à-dire la fonction exponentielle avec pour base e. C’est simplement une généralisation du calcul de l’intérêt composé précédent : le capital reste fixé à 1, mais le taux d’intérêt est remplacé par x. Dans ces conditions, si l’intérêt est calculé à chaque instant, le solde final à la fin de l’année sera e^x. Cependant, le « taux d’intérêt » x peut être positif ou négatif, et être un nombre réel non nul.
La banque ci-dessus est bien sûr un modèle mathématique fictif, mais de nombreux phénomènes naturels réels correspondent à ce modèle. Tout ce qui augmente (ou diminue) à un rythme fixe à chaque instant (en pourcentage) suit la règle de croissance (ou de décroissance) exponentielle. Par exemple, la masse d’une substance radioactive diminue avec le temps, l’intensité des ondes sonores ou lumineuses diminue avec la distance, la relation entre la réaction des humains à divers stimuli et l’intensité de ces stimuli, etc., tous suivent cette règle d’exponentielle. Les conclusions de Malthus sur la croissance exponentielle de la population sont également basées sur le même modèle mathématique.
Euler prouva également que le taux de variation instantanée (ou dérivée) de la fonction exponentielle e^x est égal à elle-même. Par exemple, si la vitesse d’un objet en mouvement à un instant donné est e^t, alors l’accélération à ce moment-là est également e^t. Cette propriété unique de la fonction e^x lui permet de jouer un rôle spécial dans les calculs de calcul intégral, la résolution d’équations différentielles, etc., ainsi que dans divers déductions théoriques et calculs d’ingénierie.Dans les calculs, le nombre e et e^x apparaissent constamment.
Avec les progrès de la technologie et le développement des mathématiques, le nombre e est de plus en plus utilisé. On le retrouve partout dans les différents domaines des mathématiques. L'une des raisons principales est due aux propriétés uniques de la fonction exponentielle dont la base est e.