Un jour d’été 1900, plus de 200 des plus éminents mathématiciens se sont réunis à Paris, en France, pour un congrès international des mathématiciens. Lors de cette réunion, le célèbre mathématicien allemand Hilbert a prononcé un important discours intitulé « Problèmes mathématiques ». Dans ce discours, il a énuméré une série de problèmes mathématiques qu’il considérait comme les plus importants. Ces problèmes ont suscité l’intérêt de nombreux mathématiciens et ont eu une influence profonde sur le développement des mathématiques. Cent ans plus tard, en 2000, les mathématiciens de l’Institut de mathématiques Clay ont également organisé une conférence de mathématiques à Paris. Lors de cette réunion, les participants ont également énuméré ce qu’ils considéraient comme les problèmes mathématiques les plus importants. Bien que leur renommée ne soit peut-être pas comparable à celle de Hilbert, ils ont fait quelque chose que Hilbert n’a pas pu faire : fixer une récompense de 1 million de dollars pour chacun de ces problèmes. Ces deux conférences de mathématiques qui se sont déroulées à Paris ont un point commun remarquable : parmi les problèmes énumérés, il n’y en avait qu’un seul qui était commun aux deux. Ce problème était la conjecture de Riemann, proposée par Riemann en 1859, que de nombreux mathématiciens considèrent comme l’une des conjectures mathématiques les plus importantes.
Qu’est-ce que la conjecture de Riemann ? Le contenu de la conjecture de Riemann ne peut pas être entièrement décrit en utilisant les mathématiques élémentaires. En termes généraux, il s’agit d’une conjecture concernant une fonction de variable complexe appelée fonction ζ de Riemann (c’est-à-dire une fonction dont les valeurs prennent des valeurs dans le domaine des nombres complexes). Comme beaucoup d’autres fonctions, la fonction ζ de Riemann prend des valeurs nulles à certains points, appelés zéros de la fonction ζ de Riemann. Parmi ces zéros, il y en a une partie particulièrement importante appelée zéros non triviaux de la fonction ζ de Riemann. La conjecture de Riemann prédit que tous ces zéros non triviaux sont répartis sur une ligne spéciale appelée « droite critique », qui est une ligne parallèle à l’axe des réels et passant par le point 1/2 de l’axe des réels.
La conjecture de Riemann reste jusqu’à présent non résolue (ni prouvée ni réfutée). Cependant, les mathématiciens l’ont étudiée en profondeur à partir de deux approches différentes : l’analyse et le calcul numérique. En analyse, le résultat le plus solide obtenu jusqu’à présent est la preuve que au moins 40 % des zéros non triviaux sont situés sur la droite critique. En ce qui concerne le calcul numérique, le résultat le plus solide obtenu jusqu’à présent est la validation du fait que les 10 000 premiers zéros non triviaux sont tous situés sur la droite critique mentionnée ci-dessus.
Pourquoi la conjecture de Riemann est-elle si importante ? Est-ce parce qu’elle est très difficile ? Bien sûr, la conjecture de Riemann est effectivement très difficile, mais si l’on se limite à juger de sa difficulté, d’autres conjectures mathématiques célèbres ne sont pas moins difficiles. Par exemple, la conjecture de Fermat n’a été prouvée qu’après plus de 350 ans d’efforts, tandis que la conjecture de Goldbach a été posée plus de 100 ans avant la conjecture de Riemann, mais reste aussi inébranlable que celle-ci. Alors pourquoi la conjecture de Riemann est-elle considérée comme la conjecture mathématique la plus importante ? La raison principale est qu’elle est étroitement liée à d’autres propositions mathématiques. Selon les statistiques, plus de 1 000 propositions mathématiques dans la littérature actuelle reposent sur la validité de la conjecture de Riemann (ou de ses généralisations). Cela signifie que si la conjecture de Riemann et ses généralisations sont prouvées, toutes ces plus de 1 000 propositions mathématiques pourront devenir des théorèmes. Inversement, si la conjecture de Riemann est réfutée, au moins une partie de ces plus de 1 000 propositions mathématiques sera inévitablement perdue. Le fait qu’une conjecture mathématique soit si étroitement liée à un si grand nombre de propositions mathématiques est unique en mathématiques. De plus, la conjecture de Riemann est étroitement liée au problème de la distribution des nombres premiers dans la théorie des nombres, un domaine traditionnel très important des mathématiques, qualifié par le mathématicien allemand Gauss de « reine des mathématiques ». Le problème de la distribution des nombres premiers a toujours suscité l’intérêt de nombreux mathématiciens, ce qui a grandement accru l’importance de la conjecture de Riemann aux yeux des mathématiciens.Il est impossible de surestimer le statut et l'importance de la conjecture de Riemann. De plus, l'importance d'une conjecture mathématique peut également être mesurée par la capacité à générer des méthodes et des résultats qui contribuent et ont un impact sur d'autres domaines des mathématiques au cours de sa recherche. En fait, l'un des premiers résultats obtenus par les mathématiciens lors de l'étude de la conjecture de Riemann a directement conduit à la preuve d'un important théorème sur la distribution des nombres premiers : le théorème des nombres premiers. Enfin, et de manière la plus inattendue, l'importance de la conjecture de Riemann dépasse même le domaine des mathématiques pures et « envahit » le domaine de la physique. Au début des années 1970, on a découvert que certaines recherches liées à la conjecture de Riemann étaient en fait étroitement liées à certains phénomènes physiques très complexes. La raison de cette corrélation reste un mystère à ce jour, mais son existence a sans aucun doute renforcé l'importance de la conjecture de Riemann.