Dans la suite des nombres premiers, certains nombres premiers consécutifs ont une différence de 2, comme 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, etc. De tels nombres premiers sont appelés nombres premiers jumeaux. À première vue, il semble que les nombres premiers jumeaux soient assez denses dans la suite des nombres premiers, mais en réalité, ce n’est pas le cas. Plus on avance, plus il devient difficile d’en trouver. Il peut être prouvé que les nombres premiers jumeaux sont assez rares dans la suite des nombres premiers, avec une densité nulle ; en d’autres termes, presque tous les nombres premiers ne sont pas des nombres premiers jumeaux. Malgré cela, les nombres premiers jumeaux apparaissent de temps en temps. En 2011, deux nombres premiers jumeaux de 200 700 chiffres ont été découverts : 3756801695685 × 2666669 ± 1. Il semble que les nombres premiers jumeaux soient infinis. On suppose qu’il existe une infinité de paires de nombres premiers jumeaux. Cette conjecture est aussi difficile que la conjecture de Goldbach pour les nombres pairs, et n’a pas encore été résolue. En 2013, le mathématicien chinois Zhang Yitang a prouvé l’existence d’un nombre entier positif n, ne dépassant pas 7 × 10^7, tel que l’on puisse trouver une infinité de paires de nombres premiers p et q telles que p q = n. C’est la plus importante avancée de la recherche depuis la formulation de la conjecture des nombres premiers jumeaux.
La conjecture des nombres premiers jumeaux peut également être formulée comme suit : le polynôme x et x + 2 peuvent prendre des valeurs premières infiniment souvent. En utilisant le langage des polynômes, on peut également avancer la conjecture des nombres premiers triples : le polynôme x, x + 2 et x + 6 peuvent prendre des valeurs premières infiniment souvent. Plus généralement, les mathématiciens britanniques Hardy et Littlewood ont proposé la conjecture des nombres premiers k, où k est un entier positif fixe. Bien sûr, aucune de ces conjectures n’a été prouvée.
La conjecture d’Erdős-Turán considère d’un autre point de vue les liens entre les nombres premiers. Elle n’impose aucune exigence particulière quant à la différence entre les nombres premiers (comme pour les nombres premiers jumeaux, où la différence est de 2), mais exige simplement un nombre quelconque de nombres premiers. La conjecture d’Erdős-Turán affirme qu’il existe des sous-séquences arithmétiques infinies de nombres premiers dans la suite des nombres premiers. En 2004, en collaboration avec Green, Tao a utilisé la théorie de l’itération et la théorie analytique des nombres pour résoudre ce problème mathématique insoluble depuis de nombreuses années, ce qui constitue l’une des principales contributions de Tao à l’obtention du prix Fields.